12x ^ 5 8x ^ 4 - 45x ^ 3 - 45x ^ 2 + 8x + 12?

La primera raíz fácil de ver es (x + 1) ya que si reemplazas x = - 1 el polinomio es cero.

Ahora dividiendo el polinomio entre (x + 1)

nos queda

(12x⁴ - 4x³ - 41x² - 4x + 12)(x + 1)

ahora en el nuevo polinomio vemos que 2 es raiz, ya que si reemplazamos x = 2 nos da cero, entonces volvemos a dividir por (x - 2).

Nos queda esto

(12x³ + 20x² - x - 6)(x - 2)(x + 1)

ahora vemos que 1 / 2 es raiz del nuevo polinomio, así que volvemos a dividir (sé que da mucha flojera hacer esto.

)

dividiendo por (x - 1 / 2) obtenemos :

(12x² + 26x + 12)(x - 1 / 2)(x - 2)(x + 1)

volvemos a buscar otra raíz del polinomio.

Aplicamos la fórmula de la ecuación cuadratica y obtenemos que las dos raíces que nos faltaban son

X = - 2 / 3 o x = - 3 / 2

entonces el polinomio inicial queda así

(x + 2 / 3)(x + 3 / 2)(x - 1 / 2)(x - 2)(x + 1)

por lo tanto todas las soluciones del polinomio son

{ - 2 / 3, - 3 / 2, 1 / 2, 2, - 1}

puedes comprobarlo reemplazando estos valores en el polinomio y siempre te dará cero, Saludos.