Por que es necesaria la conversion de numeros decimales a binarios y viceversa?

Sistemas de numeraciónUn sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permi­ten representar datos numéricos.

Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porqueun símbo­lo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.

Sistema de numeración decimal : El sistema de numeración que utiliza­mos habitualmente es eldecimal, que se compone de diez símbolos o dígi­tos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valordependiendo de la posiciónque ocupen en la cifra : unidades, decenas, centenas, millares, etc.

El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la de­recha.

En el sistema decimal el número528, por ejemplo, significa :

5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir :

5 * 102 + 2 * 101 + 8 * 100o, lo que es lo mismo :

500 + 20 + 8 = 528

En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concreta­mente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal.

Por ejemplo, el número8245, 97se calcularía como :

8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos

8 * 103 + 2 * 102 + 4 * 101 + 5 * 100 + 9 * 10 - 1 + 7 * 10 - 2, es decir :

8000 + 200 + 40 + 5 + 0, 9 + 0, 07 = 8245, 97

Sistema de numeración binario.

El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, elcero(0) y eluno(1).

En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe.

El valor de cada posición es el de una potencia debase 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno.

Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.

De acuerdo con estas reglas, el número binario1011tiene un valor que se calcula así :

1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20, es decir :

8 + 0 + 2 + 1 = 11

y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así :

10112 = 1110

Conversión entre números decimales y binariosConvertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo : basta con realizardivisiones sucesivas por 2y escribir los restos obtenidos en cada divisiónen orden inversoal que han sido obtenidos.

Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número7710haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes : 77 : 2 = 38Resto : 138 : 2 = 19Resto : 019 : 2 = 9Resto : 19 : 2 = 4Resto : 14 : 2 = 2Resto : 02 : 2 = 1Resto : 01 : 2 = 0Resto : 1y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria :

7710 = 10011012

Ejercicio 1 : Expresa, en código binario, los números decimales siguientes : 191, 25, 67, 99, 135, 276

El tamaño de las cifras binariasLa cantidad de dígitos necesarios para representar un número en el sistema binario es mayor que en el sistema decimal.

En el ejemplo del párrafo anterior, para representar el número77, que en el sistema decimal está compuesto tan sólo por dos dígitos, han hecho falta siete dígitos en binario.

Para representar números grandes harán falta muchos más dígitos.

Por ejemplo, para representar números mayores de 255 se necesitarán más de ocho dígitos, porque 28 = 256 y podemos afirmar, por tanto, que 255 es el número más grande que puede representarse con ocho dígitos.

Como regla general, conndígitos binarios pueden representarse un máximo de2n, números.

El número más grande que puede escribirse conndígitos es una unidad menos, es decir, 2n– 1.

Con cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un total de16números, porque24 = 16y el mayor de dichos números es el15, porque24 - 1 = 15.

Ejercicio 2 : Averigua cuántos números pueden representarse con 8, 10, 16 y 32 bits y cuál es el número más grande que puede escribirse en cada caso.

Ejercicio 3 : Dados dos números binarios : 01001000y01000100¿Cuál de ellos es el mayor?

¿Podrías compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?

Conversión de binario a decimalEl proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo ; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.

Por ejemplo, para convertir el número binario10100112a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit :

1 * 26 + 0 * 25 + 1 * 24 + 0 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20 = 83

10100112 = 8310

Ejercicio 4 :

Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios :

110111, 111000, 010101, 101010, 1111110.