Que actividades cumple el presidente de la republica?

En el caso del Presidente de la República, el término se refiere a quien lidera al poder ejecutivo, siendo su figura representativa.

Al respecto, no necesariamente tiene facultades amplias respecto al poder ejecutivo, es decir el dictar las leyes y velar por que se cumplan.

Todo va a depender del tipo y forma de gobierno que exista en un país determinado.

En un régimen presidencialista, por ejemplo, si tiene facultades ejecutivas, o sea aprueba leyes, y participa activamente en la administración del estado, mientras que por ejemplo en una república parlamentaria su rol es más bien el de representar protocolarmente al estado y firma las leyes o decretos (previamente con la aprobación de los ministros).

Cuando participa del poder ejecutivo se dice que es "jefe de gobierno", mientras que cuando el presidente actúa como el representante protocolar que te mencioné, nos referimos al cargo como el de "jefe de estado".

Cuando cumple ambas funciones, como en los régimenes presidencialistas le atribuimos ambas "jefaturas".

Pero en todo caso estas diferencias semánticas no son del todo claras y hay diferentes interpretaciones.