Cual es la condicion necesaria para que tres o mas rectas sean ocurresntes GEOMETRIA?

Concurrencia de perpendicularesPublicado el21 / 02 / 2013Sea un triángulo, ytres puntos en las rectas.

Por cada uno de esos puntos trazamos una perpendicular a la recta respectiva.

Una condición necesaria y suficiente para que esas perpendiculares sean concurrentes en un punto es que se cumpla la relación :

Si las perpendiculares concurren en, , etc, y se cumple la relación.

Por otro lado comodetermina un único puntoen la recta, la relación es condición suficiente para la concurrencia de las perpendiculares.

Aplicando ese criterio se demuestran los siguientes corolarios.

1)Las perpendiculares por los puntos medios de los lados concurren en un punto, porque en ese caso, etc.

2)Las alturas concurren en un punto, porque en ese caso tenemos que, etc.

3)Sies el simétrico derespecto a una recta (verde en la figura), las perpendiculares desde los vérticesa los lados correspondientes dese cortan en un punto.

Porque, etc, y, por simetría, .

4)Sison los pies de las perpendiculares desde los vértices dea una recta dada, las perpendiculares desdea los ladosconcurren en un punto.

Porque, y permutando cíclicamentetenemos 12 términos que se cancelan.

5)Sison los pies de las perpendiculares trazadas desde un puntosobre los lados de, las perpendiculares trazadas desdeason concurrentes en un punto.

Porque, en la figura, , etc, y por tanto, porque las perpendiculares porconcurren en.

6)Si las perpendiculares trazadas desde los vértices de un triánguloa los respectivos lados de otro triángulose cortan en un punto, entonces las perpendiculares trazadas desde los vértices dea los lados dese cortan en un punto.

Porque, etc, y, etc, y como la suma de las permutaciones cíclicas devale cero, también será cero la suma de las de.

7), sies el punto medio de.

Entonces, sison los puntos medios de, la condicion necesaria y suficiente para la concurrencia de las perpendiculares se puede expresar como :

.