Considera la función f(x) = ax + 8 \ bx + 6?

1 DERIVADA DE UNA FUNCION.

Sea y = f (x) , una función definida en cada

punto del intervalo abierto I.

Decimos que f (x) es diferenciable (o derivable) en un

punto x de I si existe

lim f(x + h) - f(x)

h + O h

dy df En este caso, dicho límite se designa por - , f '(x) , - (x) o Dx f (x) , y se llama la

dx dx

derivada de f (x) en e2 punto x.

Por definición se tiene entonces que - dy = df ft(x) = = (x) = Dxf(x) = lirn f (x + h) - f (x)

h + O h

Si la derivada f '(x) existe para cada x de 1, la función f '(x) se llama la derivada de

la función f (x) ; y decimos que f (x) es diferenciable en todo el intervalo I.

El valor de la derivada de y en el punto a se suele denotar con 8.

2 REGLA PARA CALCULAR LA DERIVADA EN UN PUNTO.

De la definición f '(x) = lim f(x + h) - f(x) = lim f (x + ~x) - f (x) , donde Ax = h,

h - + O h AX - O AX

podemos extraer la siguiente regla para calcular la derivada de f (x) en el punto x.

Paso 1.

Se suma a la variable x un incremento Ax # O, y se calcula el valor f (x + AX) .

Paso 2.

Se forma el incremento Ay de la función correspondiente al incremento Ax

de la variable x, es decir, se calcula la diferencia Ay = f (x + AX) - f (x).

Paso 3.

Se divide ambos miembros entre el incremento de la variable x

AY Paso 4.

Se calcula lim - .

& - + O Ax

Por definición, el límite resultante es f '(x) , la derivada de f (x) en x.

EJEMPLO.

Hallar la derivada de y = 3x2 + x - 5 en el punto x.

SOLUCION.

Escribimos f (x) = 3x2 + x - 5 .

AY dY Pasod.

Lim - = 6x + 1.

Luego - = 6x + 1.

Ax - O Ax dX

8.

3 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA.

Recta tangente a una

curva.

La derivada f '(x) puede ser interpretada como la pendiente de la recta tangente a la

curva y = f (x) en el punto (x, f (x)).

En efecto, consideremos un punto P = (x, f (x))

de la grzifica de y = f (x) .

Derivación y Funciones Elementales 201

Para un incremento Ax se obtiene el punto Q = (x + Ax, f (x + AX)) de la gráfica de la

curva, y la recta secante S que pasa por P y Q tiene pendiente

Fijemos el punto P y hagamos que Ax tienda hacia cero.

Entonces el punto Q se

aproxima al punto P y la recta secante Sp gira al rededor del punto P.

Si esta recta

secante Sg tiende a una posición limite T, entonces consideramos a la recta T como la

recta tangente a la curva en el punto P.

Ahora bien, puesto que el punto P y la pendiente mq determinan completamente a la

recta secante Sy para que ésta se aproxime a una posición limite, y ya que P esta

fijo, bastará que exista

AY lim m, = lixn - = f '(x),

L \ x - + O Ax + O AX

y tomar este número como la pendiente de T.

Con esta discusión procedemos a dar las siguientes definiciones.

Dada la función y = f (x) , llamamos recta tangente a la curva y = f (x) en x, ( o a la

gráfica de f (x) en el punto (xl, f(xl)) a la recta T que cumple las dos condiciones

siguientes :

T pasa Por (~19 f (~1)) 9

Y T tiene pendiente f '(x, ) .

Es decir, T es la recta cuya ecuación es T : Y - f(~l) = ft(Xl) *

X - X1

Se llama recta normal a la curva y = f (x) en xl ( o a la gráfica de f (x) en el punto

(x, , f(x, )) a la recta N que cumple las dos condiciones siguientes :

N pasa Por (x, , f(x1)) 9

y N es perpendicular a la recta tangente a la curva en el punto (xl, f (x, )) .

1

Es decir, N tiene pendiente - - y su ecuación es

f '(~1).