En este problema se plantea de tal forma que un cuerpo en
movimiento (la esquiadora) va a descender por una bola de nieve, y la
interrogante es que ángulo se forma entre la trayectoria del cuerpo y el centro de la bola de nieve.
Para determinar
este ángulo, y dado que la esquiadora realiza un movimiento, involucraremos energía
potencial y cinética y se debe determinar la ecuación que incluya el ángulo que queremos
obtener.
Se asume que en el inicio
del desplazamiento la energía cinética,
que depende de la velocidad inicial, es muy pequeña, por lo que podemos decir
que el valor es cercano a 0, o en este caso lo tomaremos como Ec = 0.
La energía
potencial está presente, y se expresa : Ep = m.
G. R .
A este inicio lo denominaremos punto
1.
Una vez transcurrido un trayecto, la esquiadora se separará de la bola de
nieve (punto 2), y allí la energia cinética (Ec) será
Ec = ½( m.
V2) ;
la energía potencial
estará dada en 2 :
Ep = m.
G. h
Planteamos para este
problema
Ep1 + Ec1 = Ep2 + Ec2
m.
G. R + 0 = m.
G. h +
1 / 2.
M. v² (R expresa el
radio de la bola de nieve).
Como se pretende obtener una ecuación simplificando y
despejando, igualaremos los términos, por lo que decimos :
senθ = h / R
h = R.
Senθ
La ecuación que involucra la suma de Ep y Ec es :
m.
G. R = m.
G. R.
Sen θ + <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20" />mv²
m.
G. R – m.
G. R.
Sen θ =
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20" />mv²
Eliminamos las masas
gR - gR.
Senθ = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20" />v²
2gR - 2gR.
Sen θ = v²
v² / R = 2g - 2g.
Sen θ
Esta será nuestra primera
ecuación : v² / R = 2g - 2g.
Sen θ
En el punto 2, el peso de la esquiadora es una fuerza que
actúa en la dirección que toma al separarse de la bola de nieve, pero también
una fuerza que actúa en la dirección de la tangente.
La otra fuerza que actúa
es la de la normal (N).
Tomando como referencia que la dirección N + , el peso tendrá
un valor negativo :
En N : Pn = - mg.
Sen θ.
En dirección normal =
N - Pn
Por tanto :
m.
A = N - mg.
Senθ
Y como la aceleración es
hacia el centro, su valor será : - v² / R (negativo porque es contraria a la dirección
normal).
M. ( - v² / R) = N - mg.
Sen θ - m.
V² / R = N - mg.
Sen θ
Sustituiremos v² / R con la ecuación 1 - m.
(2. g – 2.
G. sen θ) = N – m.
G. sen θ - 2m.
G + 2m.
G. sen θ + m.
G. sen θ = N - 2mg + 3mg.
Sen θ = N
En el preciso momento en que N sea igual a 0, decimos - 2mg + 3mg.
Sen θ = 0
3mg.
Sen θ = 2mg
3 sen θ = 2
sen θ = 2 / 3
θ = arc sen 2 / 3
θ = 41, 81º
Y 41, 81º será el ángulo que forma con la vertical una línea
radial que va del centro de la bola a la esquiadora, en el momento en que ella
pierde contacto con la bola de nieve.
