Mostrar que, en el caso de dos cuerpos, el centro de masas está ubicado enalgún punto de la línea que los une?

De la imagen :

r₁ = R₁ + R, luego r₁ - R = R₁

r₂ = R₂ + R, luego r₂ - R = R₂

Recordemos que el vector relativo r se define como :

r = r₂ - r₁

Y que el vector centro de masa está definido cómo : n n

R = (∑ mi ri ) / ∑ mi i = 1 i = 1

Para este caso R = (m₁r₁ + m₂r₂) / (m₁ + m₂)

En la imagen también notamos que R₁ + R₂ = r

Debemos probar que lo que se ve en la imagen es cierto para cualquier masa y distancia.

Empezaremos por suponer que la información de la imagen es cierta, ahora lo comprobaremos :

Fundamentalmente se tiene que :

R₁ + R₂ = r

Debemos llegar de un lado a otro para demostrarlo :

R₁ + R₂ = r₁ - R + r₂ - R

r₂ - R + (r₁ - R) = r₁ + r₂ - 2R

Ahora reemplazamos R y operamos :

r₁ + r₂ - 2((m₁r₁ + m₂r₂) / (m₁ + m₂)) = (r₁(m₁ + m₂) + r₂(m₁ + m₂) - 2m₁r₁ - 2 m₂r₂) / (m₁ + m₂) = (r₁m₁ + r₁m₂ + r₂m₁ + r₂m₂ - 2m₁r₁ - 2 m₂r₂) / (m₁ + m₂) = (r₁m₂ - r₁m₁ - r₂m₂ + r₂m1) / (m₁ + m₂)

Factorando :

(r₁m₂ - r₁m₁ - r₂m₂ + r₂m1) / (m₁ + m₂) = (r₂(m₁ + m₂) - r₁(m₁ + m₂)) / (m₁ + m₂) = (m₁ + m₂)(r₂ - r₁) / (m₁ + m₂) = r₂ - r₁ = r.