Si un cuerpo puede mantener una órbita alrededor de otro es porque la fuerza centrípeta compensa a la atracción gravitatoria, la fuerza centrípeta se define como : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=F_c%3Dm.%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Br%7D" />Y es propia del movimiento circular.
M es la masa del objeto que está girando, v su velocidad y r el radio de la trayectoria.
Nos queda : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=m%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Br%7D%3DG%5Cfrac%7BM_L.m%7D%7Br%5E2%7D" />Donde ML es la masa de la luna y G la constante de gravitación universal.
Operando queda : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Br%7D%3DG%5Cfrac%7BM_L%7D%7Br%5E2%7D" />Esta expresión se utilizará como ecuación maestra.
La masa de la luna es <img src="https://tex.z-dn.net/?f=7%2C35x10%5E%7B22%7Dkg" />.
Y el segundo miembro de esta última expresión es la aceleración gravitatoria que sufre el astronauta en órbita, que tiene que igualar a la centrípeta que es la del primer miembro.
A) Así pues, la aceleración centrípeta, por lo expuesto es (el radio lunar y la altura sobre la superficie de la Luna se suman para dar el radio de la órbita) : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=r%3Dr_L%2Bh%3D1%2C7x10%5E6m%2B1x10%5E%7B5%7Dm%3D1%2C7x10%5E6m%2B0%2C1x10%5E%7B6%7Dm%3D1%2C8x10%5E%7B6%7Dm%5C%5C%5C%5Ca%3DG.%5Cfrac%7BM_L%7D%7Br%5E2%7D%3D6%2C674x10%5E%7B-11%7D%5Cfrac%7BNm%5E2%7D%7Bkg%5E2%7D%5Cfrac%7B7%2C35x10%5E%7B22%7Dkg%7D%7B%281%2C8x10%5E%7B6%7Dm%29%5E2%7D%20%3D1%2C51%5Cfrac%7Bm%7D%7Bs%5E2%7D" />Tanto la aceleración centrípeta como la gravitatoria son <img src="https://tex.z-dn.net/?f=1%2C51%5Cfrac%7Bm%7D%7Bs%5E2%7D" /> mientras que la aceleración tangencial es 0, porque para mantenerse en órbita la velocidad tiene que ser constante.
B) La velocidad tangencial la podemos despejar de la ecuación maestra elegida : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Br%7D%3DG%5Cfrac%7BM_L%7D%7Br%5E2%7D%5C%5C%5C%5Cv%5E2%3DG%5Cfrac%7BM_L%7D%7Br%7D%5C%5C%5C%5Cv%3D%5Csqrt%7BG%5Cfrac%7BM_L%7D%7Br%7D%7D%3D%20%5Csqrt%7B6%2C674x10%5E%7B-11%7D%5Cfrac%7B7%2C35x10%5E%7B22%7D%7D%7B1%2C8x10%5E6m%7D%7D%3D1%2C65%5Cfrac%7Bkm%7D%7Bs%7D" />Nos queda que el astronauta en órbita viaja a 1, 65km / s.
C) Vuelvo a plantear la ecuación maestra elegida : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Br%7D%3DG%5Cfrac%7BM_L%7D%7Br%5E2%7D" />Tengo que : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=v%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%20r%7D%7BT%7D" />Donde T es el periodo, lo reemplazo en la primera ecuación : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B4%5Cpi%5E2r%5E2%7D%7BrT%5E2%7D%3DG%5Cfrac%7BM_L%7D%7Br%5E2%7D" />Despejo el periodo y queda : [img = 10]O traducido a horas : [img = 11]Con lo cual, el período de la órbita es 1, 9 horas.