La región limitada por la gráfica y = x ^ 3, el eje x y x = 1 / 2 , se gira alrededor del eje x?

El área se determina mediante la siguiente expresión :

A = 2 π int [y √[1 + (y')²]dx, entre a y b] ; para este caso es :

y' = 3 x ^ 2 ; (y')² = 9 x ^ 4

A = 2 π int [x ^ 3 √[1 + 9 x ^ 4]dx, entre 0 y 1 / 2]

Resolvemos con una sustitución : u = 1 + 9 x ^ 4 ; du = 36 x ^ 3 dx ;

de modo que x ^ 3 dx = du / 36 ; reemplazamos :

I = 2 π / 36 int [√u du] = 2 π / 36 .

2 / 3 u ^ (3 / 2) = π / 27 u ^ (3 / 2

Volvemos a x, para x = 0 hasta x = 1 / 2

A = π / 27 [1 + 9 (1 / 2) ^ 4] ^ (3 / 2) = 0, 111 unidades de superficie.

Saludos Herminio.