La fuerza de un diámetro variable es independiente o dependiente​?

Respuesta : Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía "un poco", etc.

Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos estaDIFERENCIAcon la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremosELDIFERENCIALde la función en el punto.

DEFINICION Y EJEMPLOSConsideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta tangente.

Considerando quela recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en las cercanías del punto de tangenciaPT, si le llamamosa la variación de f cuando x varía de xoa xo + h ya la variación de la recta tangente en el mismo rango de variación en x, podemos afirmar que para valores de h "cercanos" a 0, estas dos variaciones son muy parecidas, es decir, Df@DRT.

Podemos expresar aDRTen términos de h y el ánguloqque forma la recta tangente con el eje de las abscisas.

En el triángulo de la figura, que extraemos a continuación, se observa lo siguiente : En virtud de queDRTes un aproximador de la DIFERENCIADf, lo definiremos como EL DIFERENCIAL DE f en el punto xo, con respecto al incremento h y lo denotaremos por df, es decir, df = f '(xo)hObservación : El diferencial, en general depende de h y del punto xo.

Por ejemplo el diferencial de f(x) = x2es : df = f ' (xo)h = (2xo)hque también lo podemos expresar como : d(x2) = (2xo)hSi especificamos el punto xo, el diferencial dependerá únicamente de h, como se aprecia en los siguientes ejemplos : a) El diferencial de f(x) = x2en xo = 3 es d(x2) = 6hb) El diferencial de f(x) = x2en xo = 7 es d(x2) = 14hc) El diferencial de f(x) = x3en xo = 2 es d(x3) = 12hEn el caso de la función identidad f(x) = x, como f '(xo) = 1 para todo xo, su diferencial nos queda como df = f '(xo)h = h o biendx = hComo h es el diferencial de la función identidad, podemos re - escribir el diferencial de una función f derivable en xo, como : df = f '(xo)dxEsta expresión nos dice quela variación de una función f es aproximadamente proporcional a la variación de su variable independiente, donde la constante de proporcionalidad es la derivada en el punto en cuestión.

En los siguientes ejemplos estimaremos la variaciónDf para xoy h dados y la compararemos con el diferencial.

Ejemplo .

Verifique que : a) Para f(x) = x2se cumple queDf@df en xo = 1 y h = 0.

1Solución : Df = f(1.

1) - f(1) = 1.

21 - 1 = 0.

21df = f ' (1)dx = (2x|x = 1)(0.

1) = (2)(0.

1) = 0.

20La variación real difiere de la aproximada enuna centésima.

Observación : El punto xo + h es un punto cercano a xo, que se encuentra a la derecha de éste si h es positivo y a la izquierda si h es negativo.

En el siguiente ejemplo consideraremos un incremento negativo.

B) Para f(x) = x2se cumple queDf@df en xo = 1 y h = - 0.

1Solución : Df = f(0.

9) - f(1) = 0.

81 - 1 = - 0.

19df = f ' (1)dx = (2x|x = 1)( - 0.

1) = (2)( - 0.

1) = - 0.

20La variación real difiere de la aproximada enuna centésima.

C) Para f(x) = x2se cumple queDf@df en xo = 2 y h = 0.

006Solución : Df = f(2.

006) - f(2) = 4.

024036 - 4 = 0.

02403df = f ' (2)dx = (2x|x = 2)(0.

006) = (4)(0.

006) = 0.

02400La variación real difiere de la aproximada entres cienmilésimas.