Hola?

La ecuación de bernoulli describe el comportamiento de un flujo moviéndose a lo largo de un tubo de corriente.

Supongamos que estamos al nivel del piso (marco de referencia).

Usaremos el principio de la conservación de la energía para deducir la ecuación de bernoulli.

ΔE = Σ W

El cambio de la energía mecánica es igual a la suma de todos los trabajos hechos por fuerzas no conservativas.

Procedamos a hallar cada termino de la igualdad.

Empecemos porΣW

Σ W = F₁ΔX₁ cos(0) + F₂ΔX₂ cos(180)

Σ W = F₁ΔX₁ - F₂ΔX₂

pero P = F / A o F = PA entonces

Σ W = P₁ A₁ΔX₁ - P₂ A₂ΔX₂

pero A₁ΔX₁ = ΔV₁ y A₂ΔX₂ = ΔV₂

Por conservación de la masa (ecuación de continuidad)

Δm₁ = Δm₂

ρ₁ΔV₁ = ρ₂ΔV₂

Como el fluido es ideal, o sea, que cumple con ser incompresible entoncesρ₁ = ρ₂ = ρ

esto implica queΔV₁ = ΔV₂ = ΔV

→∑ W = ΔV(P₁ - P₂)

Ahora procedemos a hallarΔΕ

ΔΕ = E₂ - Ε₁

ΔΕ = K₂ + U₂ - K₁ - U₁

ΔΕ = (K₂ - K₁) + (U₂ - U₁)

ΔΕ = (1 / 2)m(v₂² - v₁²) + mg(y₂ - y₁)

pero m₁ = m₂ = ρΔV

→ΔΕ = ΔV((1 / 2)ρv₂² - (1 / 2)ρv₁² + ρgy₂ - ρgy₁)

Igualando

ΔV(P₁ - P₂) = ΔV((1 / 2)ρv₂² - (1 / 2)ρv₁² + ρgy₂ - ρgy₁)

Se cancela elΔV y queda

P₁ - P₂ = (1 / 2)ρv₂² - (1 / 2)ρv₁² + ρgy₂ - ρgy₁

P₁ + ρgy₁ + (1 / 2)ρv₁² = P₂ + ρgy₂ + (1 / 2)ρv₂²

Esto implica que

Δ(P + ρgy + (1 / 2)ρv²) = 0

P + ρgy + (1 / 2)ρv² = constante

A esto se le llama la ecuación de Bernoulli

donde

P = presión absoluta

ρgy = presión estática

(1 / 2)ρv² = presión dinámica.