A partir de la Ley de Coulomb es muy fácil deducir cada una de las expresiones que pides.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cvec%20F%20%3D%20K%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bq_1%5Ccdot%20q_2%7D%7Bd%5E2%7D%5Cvec%20u" />
El campo eléctrico se define a partir de una única carga eléctrica.
Basta con dividir la expresión anterior por el valor de una de las cargas.
Si lo hacemos por la segunda carga :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cvec%20E%20%3D%20K%5Ccdot%20%5Cfrac%7BQ%7D%7Bd%5E2%7D%5Cvec%20u" />
El potencial eléctrico es escalar y se obtiene como el producto escalar del campo y la distancia.
La expresión del potencial es :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbf%20V%20%3D%20K%5Ccdot%20%5Cfrac%7BQ%7D%7Bd%7D" />
La diferencia de potencial eléctrico no es más que tomar de referencia dos puntos a diferente distancia de la carga :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbf%20%5CDelta%20V%20%3D%20K%5Ccdot%20Q%5Ccdot%20%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bd_2%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bd_1%7D%29" />.