Descomponer el vector A = 2i - j + 4k en dos componentes una en paralela y el otro perpendicular al vector B = 3i + 5j - 2k?

Llamemos C al vector perpendicular al vector B.

Debe pertenecer además la plano de A y B.

Este vector perpendicular se obtiene mediante un doble producto vectorial :

C = B∧(B∧A), siendo∧ el símbolo del producto vectorial.

Omito las operaciones intermedias :

B∧A = (3, 5, - 2)∧(2, - 1, 4) = (18, - 16, - 13)

C = (3, 5, - 2)∧(18, - 16, - 13) = ( - 97, 3, - 138)

Se puede comprobar que C es perpendicular a B, mediante producto escalar :

(3, 5, - 2) .

( - 97, 3, - 138) = 3 .

( - 97) + 5 .

3 + ( - 2).

( - 138) = 0

Entonces el vector A será una combinación lineal entre B y C :

A = x B + y C, siendo x e y dos constantes a determinar.

(2, - 1, 4) = x (3, 5, - 2) + y ( - 97, 3, - 138)

Planteamos el siguiente sistema :

2 = 3 x - 97 y - 1 = 3 x + 3 y

Sistema lineal cuyas soluciones son : x = - 7 / 38 ; y = - 1 / 38

Verificamos la tercera coordenada :

4 = ( - 2) .

( - 7 / 38) + ( - 1 / 38) .

( - 138) = 14 / 38 + 138 / 38 = 152 / 38 = 4

Saludos Herminio.