Como se resuelve un vector?

VALORES CARACTERISTICOS, FORMAS CUADRATICAS Y VECTORES CARACTERISTICOS.

VALORES Y VECTORES

Sean T : V V una transformación lineal.

En muchas aplicaciones es útil encontrar un vectorvy un escalar V tal que Tvyvson paralelos.

Es decir, se busca un vectorvy un escalar tal que

Tv = v (1)

Siv" 0 y satisface (1), entonces se llama un eigenvalor de T yvse llama un eigenvector de T correspondiente al eigenvalor .

Si V tiene una dimensión finita, entonces T se puede representar por una matriz AT.

Definición.

Eigenvalor y eigenvector.

Sea A una matriz de n * n con componentes reales&.

El número (real o complejo) se llamaeigenvalorde A si existe un vector diferente de ceroven Cn tal que Av = v.

(2)

El vectorv" 0 se llama eigenvector de A correspondiente al eigenvalor .

Esta definición es válida si A tiene componentes complejas ; pero como las matrices que se manejarán tienen, en su mayoría, componentes reales, la definición es suficiente para nuestros propósitos.

Nota.

La palabra “eigen” es la palabra alemana para “propio”.

Los eigenvalores también se llamanvalores propiosovalores característicosy los eigenvectores reciben el nombre devectores propiosovectores característicos.

Ejemplo 1.

Eigenvalores y eigenvectores de una matriz de 2 * 2.

Sea A = 10 - 18 - 11

Entonces

A 2 = 10 - 18 2 = 2

1 6 - 11 1 1

Así, 1 = 1 es un valor propio de A con el correspondiente vector propiov1 = 2

1

De manera similar, A 3 = 10 - 18 3 = - 6 = - 2 3

2 6 - 11 2 - 4 2

de manera que 2 = - 2 es un valor propio de A con el correspondiente vector propiov2 = 3

2

Ejemplo 2.

Eigenvalores y eigenvectores de la matriz identidad.

Sea A = I, entonces para cualquierv" Cn, Av = Iv = v.

Así, 1 es el único valor propio de A y todov" 0 " Cn es un vector propio de I.

Suponga que es un valor propio de A.

Entonces existe un vector diferente de cero

x1

V = x2 " 0 tal que Av = v = Iv.

Rescribiendo esto se tiene (A - I)v = 0(3) :

xn

Sea A una matriz de n * n, la ecuación (3) corresponde a un sistema homogéneo de n ecuaciones con las incógnitas x1, x2, .

, xn.

Como se ha supuesto que el sistema tiene soluciones no triviales, se concluye que det (A - I) = 0.

Inversamente, si det (A - I) = 0, entonces la ecuación (3) tiene soluciones no triviales y es el valor propio de A.

Por otro lado, si det (A - I) " 0, entonces la única solución a (3) esv = 0de manera que no es un eigenvalor de A.

Procedimiento para calcular valores propios y vectores propios

Se encuentra p() = det (A - I).

Se encuentran las raíces 1, 2, .

. . , m de p( ) = 0.

Se resuelve el sistema homogéneo (A - iI)v = 0, correspondiente a cada valor propio i.

Observación 1.

Por lo general el paso ii) es el más dificil.

Ejemplo 3.

Cálculo de valores y vectores propios.

Sea A = 4 2

3 3

4 - 2

Entonces det (A - I) = 3 3 - = (4 - )(3 - ) - 6 = 2 - 7 + 6 = ( - 1)( - 6) = 0.

Entonces los valores propios de A son 1 = 1 y 2 = 6.

Para 1 = 1 se resuelve (A - I)v = 0 o

3 2 x1 = 0

3 2 x2 0.