AYUDAAA ¿Qué relación existe entre la rapidez lineal y la rapidez angular de un cuerpo que realiza un movimiento circular?

De la definición de radián (unidad natural de medida de ángulos) obtenemos la relación entre el arco y el radio.

Como vemos en la figura, el ángulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su radioUna rueda der = 0.

1 m de radio está girando con una velocidad deω0 = 4π rad / s, se le aplican los frenos y se detiene en 4s.

CalcularLa aceleración angularω = ω0 + αtEn el instantet = 4 s la velocidad angularω = 0α = - π rad / s2El ángulo girado hasta este instante esEn el instantet = 1 s, la posición y la velocidad angular del móvil esθ = 7π / 2 = 2π + 3π / 2 radω = 4π + ( - π)·1 = 3π rad / sLa velocidad linealv = ω·r v = 0.

3π m / sLa componente tangencial de la aceleración esat = α·r at = - 0.

1π m / s2La componente normal de la aceleración esan = v2 / r an = 0.

9π2m / s2Movimiento de una bicicletaUna bicicleta de montaña dispone de tres platos y siete piñones de distinto radio lo que proporciona 21 cambios de marcha al ciclista.

Supondremos que el ciclista hace girar al plato con velocidad angular constantew1.

¿Cuál es la velocidadvque adquiere el ciclista sobre la bicicleta.

Supondremos que conocemos los datos relativos a la bicicleta : Radio del plato seleccionado, r1Radio del piñón seleccionado, r2Radio de la rueda trasera, raRadio de la rueda delantera, rbAunque en la mayor parte de las bicicletas los radios de ambas ruedas son iguales, en algunas como las de competición contra - reloj son diferentes como en la simulación más abajo.

La figura representa un plato y un piñón unidos por una cadena.

No es necesario saber Cinemática para establecer una relación entre sus respectivas velocidades angulares, y concluir que las velocidades angulares son inversamente proporcionales a sus radios respectivos.

La velocidad de la cadenavces la misma que la velocidad de un diente del platovc = w1·r1La velocidad de la cadenavces la misma que la velocidad de un diente del piñónvc = w2·r2Tenemos de este modo, la relación entre las velocidades angularesw1yw2w2·r2 = w1·r1En el tiempotun eslabón de la cadena se mueve de A a B.

Un diente del plato gira un ánguloq1y uno del piñón gira un ánguloq2.

Tendremos entonces la siguiente relaciónq2·r2 = q1·r1Ahora nos fijaremos en la rueda trasera.

Si suponemos que el piñón es fijo, la velocidad angular del piñónw2es la misma que la velocidad angular de la rueda trasera.

De modo que, la velocidadvade un punto de la periferia de dicha rueda esva = w2·raEsta es la velocidadvcon que se mueve el ciclista sobre la bicicleta.

En el capítulo sólido rígido estudiaremos con más detalle larelación entre la velocidad de traslación y la velocidad de rotaciónde un sólido que rueda sin deslizar.

El ángulo girado por dicha rueda en el tiempotseráqa = = w2·tEl eje de la rueda delantera está unido al eje de la rueda trasera mediante la estructura rígida de tubos de la bicicleta.

La velocidad de traslación de la rueda delantera es la misma que la de la rueda trasera.

La velocidad angular de la rueda delantera seráv = wb·rbEl ángulo girado por dicha rueda en el tiempotqb = wb·tEjemplo : Los datos siguientes están fijados en el programa interactivoEl radio de la rueda trasera, ra = 30 cmEl radio de la rueda delantera, rb = 20 cmVelocidad angular del plato, w1 = 1.

0 rad / sLos radios del piñón y del plato se pueden cambiarRadio del plato seleccionado, r1 = 7.

0 cmRadio del piñón seleccionado, r2 = 3.

5 cmVelocidadesVelocidad angular del piñón : 3.

5·w2 = 1.

0·7. 0w2 = 2 rad / sEsta es también la velocidad angular de la rueda trasera.

Velocidad del ciclista sobre la bicicleta : v = 2·30 = 60 cm / s = 0.

6 m / sVelocidad angular de la rueda delantera : 60 = wb·20wb = 3 rad / sDesplazamientosEn el tiempo det = 1.

0 sLa bicicleta se desplaza : x = v·t = 60·1.

0 = 60 cm = 0.

6 mEl ángulo girado por el plato : q1 = w1·t = 1.

0·1. 0 = 1.

0 rad.

El ángulo girado por la rueda trasera : qa = w2·t = 2.

0·1. 0 = 2.

0 rad.

El ángulo girado por la rueda delantera : qb = wb·t = 3·1.

0 = 3 radPara trabajar con el programa interactivoSeleccionar el radio del plato, en el control selecciónRadio platoSeleccionar el radio del piñón, en el control selecciónRadio piñónLos datos siguientes están fijados en el programa interactivoEl radio de la rueda trasera, ra = 30 cmEl radio de la rueda delantera, rb = 20 cmVelocidad angular del plato, w1 = 1.

0 rad / sSe pulsa el botón tituladoEmpiezaObservamos el movimiento de las dos ruedas de la bicicleta, del plato y del piñónEn la parte superior del applet se nos proporciona los datos relativos aEl tiempoLa velocidad angular del plato, y el ángulo girado en dicho tiempoLa velocidad de la bicicletaEl desplazamiento de la bicicleta, que podemos ver en la escala graduada situada en la parte inferior del appletEl radio de la rueda delantera, y el ángulo girado por esta ruedaEl radio de la rueda trasera, y el ángulo girado por esta rueda.