Para resolver esta
pregunta podemos analizar las afirmaciones para cada opción de respuesta
recordando que dos variables son inversamente proporcionales si el producto de
ellas es constante y son directamente proporcionales si el cociente entre
ellas es constante.
Entonces decimos lo siguiente :
x - 2g(x) + 2 = 0 - 2g(x) = - X - 2
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20g%28x%29%3D%20%5Cfrac%7B-X%20-2%7D%7B-2%7D%20" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20g%28x%29%3D%20%5Cfrac%7BX%7D%7B2%7D%20%2B%201%20" />
Y 5x + 6h(x) - 30 = 0
6h(x) = - 5x + 30
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20h%28x%29%3D%20%5Cfrac%7B-5X%20%2B%2030%7D%7B6%7D%20" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20h%28x%29%3D%20%5Cfrac%7B-5X%7D%7B6%7D%20%2B5%20" />
Una vez hallados los valores de g(x) y de
h(x) procedemos a probar cada afirmación :
I.
H(x) es inversamente proporcional a x
SI primero decimos que X = 1 entonces h(x) = ?
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20h%281%29%3D%20%5Cfrac%7B-5%281%29%7D%7B6%7D%20%2B5%20" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20h%281%29%3D%20%5Cfrac%7B-5%7D%7B6%7D%20%2B5%20%3D%0A%20%20%5Cfrac%7B25%7D%7B6%7D%20" />
Y por ende X.
H(x) = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%201.%5Cfrac%7B25%7D%7B6%7D%0A%20%20%3D%20%5Cfrac%7B25%7D%7B6%7D%20" />
Ahora decimos que para X = 2, h(x) = ?
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20h%282%29%3D%20%5Cfrac%7B-5%282%29%7D%7B6%7D%20%2B5%20" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20h%282%29%3D%20%5Cfrac%7B-10%7D%7B6%7D%20%2B5%20%3D%0A%20%20%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D%20" />
Y por ende X.
H(x) = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%202.%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D%0A%20%20%3D%20%5Cfrac%7B20%7D%7B3%7D%20" />
Como [img = 10], es decir, no son constantes, esta afirmación es falsa.
II. g(x) es directamente proporcional a x
Para X = 1, g(x) = ?
[img = 11]
Y por ende [img = 12]
Ahora… Para X = 2, g(x) = ?
[img = 13]
Y por ende [img = 14]
Como [img = 15], es
decir, no son constantes, esta afirmación es falsa.
III. Las rectas que representan a las gráficas de las funciones f y g
tienen la misma pendiente.
En una ecuación de tipo y = mx + n, "m"
representa su pendiente, por lo tanto decimos que en el caso de g(x), su
pendiente es [img = 16] y en el caso de f(x), su pendiente es
[img = 17].
Como ambos números son distintos, esta
afirmacion es falsa.
IV. g(2x) = 2g(x)
Entonces decimos que [img = 18]
Por su parte [img = 19]
Todo indica que g(2x) ≠ 2g(x), por lo que esta afirmación es falsa.
V. [img = 20]
Entonces decimos que [img = 21]
Por su parte [img = 22]
Podemos observar que esta igualdad es
verdadera y por lo tanto, E es la alternativa correcta.
Saludos!
Prueba de Selección Universitaria PSU
Chile 2018 : Matemáticas.