Resuelve la ecuación de Bernoulli xdy / dx - (1 x)y = xy ^ 2?

Y' + p(x)·y = q(x)· yⁿEntonces, tenemos que : xy' - (1 x)·y = xy²Dividimos la expresión entre x, tenemos : y' - [(1 + x) / x]·y = y²Sabemos que n = 2, aplicamos el cambio de Bernoulli.

Z = y¹⁻ⁿ ∴ z = y¹⁻² ∴ z = y⁻¹ por tanto y = z⁻¹ ∴ y' = - z⁻²·z'Procedemos a sustituir el cambio, tenemos : - z⁻² - [(1 + x) / x]·z⁻¹ = (z⁻¹)² - z⁻² - [(1 + x) / x]·z⁻¹ = z⁻²Ahora multiplicamos toda la expresión por - z², tenemos : z' + [(1 + x) / x] ·z = 1 → Ecuación lineal Ahora de la ecuación anterior podemos definir que : p(x) = [(1 + x) / x] q(x) = 1 Para resolver esto debemos aplicar la ecuación siguiente : yμ = ∫qμ dx Por definición tenemos que : μ = e ^ (∫p(x)dx) Resolvemos ahora ∫p(x)dx, tenemos ∫p(x)dx = ∫(1 + x) / x dx I = ∫1 / x + 1 dx I = ln(x) + x Sustituimos y tenemos : μ = e ^ (ln(x) + x) μ = x·eˣAhora sustituimos en nuestra ecuación y tenemos que : z·x·eˣ = ∫1·x·eˣ dx Volvemos a resolver nuestra integral : ∫x·eˣ dx = eˣ·(x - 1)Tenemos nuestra igualdad, es decir : z·x·eˣ = eˣ(x - 1) + C Despejamos el valor de z, tenemos : z = [eˣ(x - 1) + C] / (xeˣ) Finalmente sabemos que z = y⁻¹, debido a nuestro cambio inicial, entonces : y⁻¹ = [eˣ(x - 1) + C] / (xeˣ) Finalmente nuestra solución será : y = xeˣ / (eˣ(x - 1) + C) → Solución a nuestra ecuación diferencial.