Urgente Por Favor es para mañana de Calculo Diferencial,1?

Las derivadas parciales, nacen de la necesidad de análizar funciones de 2 o más variables.

La definición es análoga a las funciones de 1 variable

Del cálculo de una variable se sabe que

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7Bdf%7D%7Bdx%7D%20%3D%20f%27%28x%29%20%3D%20%5Cdisplaystyle%7B%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%7B%5Cdfrac%7Bf%28x%2Bh%29-f%28x%29%7D%7Bh%7D%7D%7D" />

Ahora se extiende la definición para funciones de dos o más variables sea f una función de n variables

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x_0%2C%20x_1%2C%5Chspace%7B0.1cm%7D...%20%5Chspace%7B0.1cm%7D%2C%20x_%7Bi%7D%2C%20%5Chspace%7B0.1cm%7D...%20%5Chspace%7B0.1cm%7D%2C%20%20x_%7Bn-1%7D%2C%20x_n%29" />

Entonces se define la derivada parcial de f, con respecto a la variable <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x_i" /> de la siguiente manera.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20x_i%7D%20%3D%20%5Cdisplaystyle%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%7B%5Cdfrac%7Bf%28x_0%2C%20x_1%2C%5Chspace%7B0.1cm%7D...%20%5Chspace%7B0.1cm%7D%2C%20x_%7Bi%7D%20%2B%20h%2C%20%5Chspace%7B0.1cm%7D...%20%5Chspace%7B0.1cm%7D%2C%20x_n%29%20-%20f%28x_0%2C%20x_1%2C%5Chspace%7B0.1cm%7D...%20%5Chspace%7B0.1cm%7D%2C%20x_%7Bi%7D%20%2C%20%5Chspace%7B0.1cm%7D...%20%5Chspace%7B0.1cm%7D%2C%20x_n%29%20%7D%7Bh%7D%7D" />

Evaluar : No hay ninguna diferencia entre derivar parcialmente y derivar normalmente, la derivada parcial simplemente exije tomar a las otras variables como simples constantes , en lugar de funciones como normalmente se hace con la regla de la cadena.

Usos : los mismos que en el cálculo de una variable, máximos, mínimos, etc, vendría siendo una generalización, o superconjunto de lo ya conocido.

La verdad es que la pregunta que haces es demasiado extensa, puesto que hay incluso maestrías acerca del tema, así que recomiendo que leas bibliografía, después de todo la mayoría de personas, incluyéndome, saben muy superficial el tema.