Un granjero dispone de 250 m de valla, ¿Cual sera el mayor corral que puede construir?

Un granjero dispone de 250 m de valla, ¿Cual sera el mayor corral que puede construir?

Hola!

Estamos en presencia de un problema de Optimización :

Sabemos que el Perímetro de un Rectángulo : P = 2a + 2LEl Área del Rectángulo : A = a × L

2a + 2L = 250 2(a + L) = 250a + L = 250 / 2a + L = 125 ⇒ L = 125 - a

Área Máxima la obtengo con las Derivadas : A = L × aA = (125 - a) × aA = - a² + 125a

Para hallar Máximo o mínimos debo igualar a cero la derivada primera : A' = ( - a² + 125a)' = 0A' = - 2a + 125 = 0a = - 125 / - 2a = 62, 5 m

L = 125 - aL = 125 - 62, 5L = 62, 5 m

Comprobamos que sea máximo con la Derivada Segunda, sabiendo que : A" > 0 ⇒ MínimoA" < 0 ⇒ Máximo

A' = - 2a + 125 ⇒A" = - 2 < 0 ⇒ Máximo ⇒

L = 62, 5 ma = 62, 5 m Maximizan el Área

Cuadrado de Lado = 62, 5 mVerifico : P = 2L + 2a250 = 2 × 62, 5 + 2 × 62, 5250 = 250 Verifica!

A = L × a = a²A = 62, 5 × 62, 5Área Máxima = 3906, 25 m² Mayor corral que se puede construir

Saludos!