Un gimnasio techado está formado por una región rectangular con un semicírculo en cada extremo como se muestra en la figura, sí el perimetro del gimnasio debe ser una pista para carreras de 200 metros?

El perímetro del gimnasio es la suma de todo, dos lados de longitud y, y dos semicircunferencias de lado 2x, entonces :

200 = y + y + 2x * π / 2 + 2x * π / 2

2y + 2xπ = 200

y + xπ = 100

Y el área son el rectángulo :

A = b×a

A = y(2x)

A = 2xy

Despejamos y de la primera y sustituimos en la segunda :

y = 100 - xπ

A = 2x(100 - xπ)

A = 200x - 2x ^ 2π

Entonces tenemos una función del Área en función del lado x :

A(x) = 200x - 2x ^ 2π

Determinamos su punto máximo derivando e igualando su derivada a 0 :

A'(x) = 200 - 4xπ

200 - 4xπ = 0

4xπ = 200

x = 200 / 4π

x = 50 / π

Sustituimos el valor de x en el despeje de y :

y = 100 - xπ

y = 100 - (50 / π)π

y = 100 - 50

y = 50

Entonces para obtener el área máxima, x debe valer 50 / π = 15.

92 e y debe ser de 50.

Nota : también puedes evitar derivar y obtener el máximo con la fórmula del vértice de una parábola.