TEMA : Ecuaciones diferenciales de primer orden?

H' = h(1 - h)

Sujeta a h(0) = 1 / 2.

Resolviendo porseparación de variables :

dh / dx = h(1 - h)

dh / h(1 - h) = dx

∫dh / h(1 - h) = ∫dx

∫ - 1 / h(h - 1) dh = x

Sumando 0 en el numerador ( - h + h) :

∫h - 1 - h / h(h - 1) dh = x

∫h - 1 / h(h - 1) dh - ∫h / h(h - 1) dh = x

∫dh / h - ∫dh / (h - 1) = x

Ln h - Ln(h - 1) + c₁ = x

Despejando h :

Ln(h / (h - 1)) = x - c₁

e ^ (x - c₁) = h / (h - 1)

(h - 1)e ^ (x - c₁) = h

he ^ (x - c₁) - e ^ (x - c₁) = h

he ^ (x - c₁) - h = e ^ (x - c₁)

h = e ^ (x - c₁) / (e ^ (x - c₁) - 1) = e ^ (x - c₁) / (e ^ (x - c₁) - 1)

h = (eˣ / c₂) / (eˣ / c₂) - 1) = eˣ / (eˣ + k)

h(0) = 1 / 2 = 1 / (1 + k), luego k = 1.

(aquí e ^ (c₁), es otra constante igual a c₂, y 1 / c₂ = k)

Luego h(x) = eˣ / (eˣ + 1).