Si la suma de 7 términos es 49, y la suma de 17 términos es 289?

Según entiendo tu pregunta es acerca de progresiones aritméticas.

En ese caso se cumplirá el siguiente patrón para los términos :

a1 = n

a2 = n + d, donde d es la diferencia progresiva de todos los números

a3 = n + 2d

a4 = n + 3d

a5 = n + 4d

a6 = n + 5d

a7 = n + 6d

Sumando esos 7 términos se tiene que es igual a 49 :

n + n + d + n + 2d + n + 3d + n + 4d + n + 5d + n + 6d = 49

7n + d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 49

7n + 21d = 49→ sacamos factor común 7

7(n + 3d) = 49

n + 3d = 7 (I)

Expresamos ahora la suma para 17 términos :

17n + d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16) = 289

17n + 136d = 289 (II)

Despejando n de 1 : n = 7 - 3d

Sustituyendo en II : 17× (7 - 3d) + 136d = 289

119 - 51d + 136d = 289

85d + 119 = 289

85d = 170

d = 2

Por lo que n será igual a : n = 7 - 3× 2 = 1

Sabiendo esto expresamos la suma de n términos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_%7Bn%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Ba_%7B1%7D%2Ba_%7Bn%7D%7D%7B2%7D%2An%20" />

Para a1 = 1.