Si en un poligono de pueden trazar 65 diagonales ¿Cuántos lados tiene?

Un polígono con 4 lados, tiene 4 vértices.

De cada vértice se puede trazar 4 - 3 diagonales.

Osea que en total se pueden trazar 4 diagonales, pero resulta que solamente las diagonales trazadas desde el primer y segundo vértice son distintas (cuando trazas diagonales del tercer y cuarto vértices, son las mismas que ya trazaste) : 2

Un polígono con 5 lados (pentágono) permite trazar 5 - 3 = 2 diagonales desde cada vértice, pero solo serán diferentes 2 trazadas desde el primer vértice, 2 trazadas desde el segundo vértice y 1 trazada desde el tercer vértice (cualquier otra se sobrepondra a una de estas).

Es decir, serán 5 diagonales.

Un polígono de 6 vértices y 6 lados permite trazar 6 - 3 diagonales desde cada vértice, pero los diferentes serán : 3 desde el primer vértices, 3 desde el segundo vértice, 2 desde el tercer vértices y 1 desde el cuarto vértice.

Es decir : 3 + 3 + 2 + 1 = 9 diagonales.

Un polígono de 7 vértices, permite trazar 7 - 3 = 4 diágonales desde el primer vértice, 4 diagonales diferentes desde el segundo vértice, 3 diferentes desde el tercer vértice, 2 diferentes desde el cuarto vértice y una más desde el quinto vértice : 4 + 4 + 3 + 2 + 1 = 14

Se puede demostrar que la serie es así :

Número de lados número de diagonales

4 2

5 2 + 3 = 5

6 5 + 4 = 9

7 9 + 5 = 14

8 14 + 6 = 20

9 20 + 7 = 27

10 27 + 8 = 35

11 35 + 9 = 44

12 44 + 10 = 54

13 54 + 11 = 65

Por tanto, la respuesta es 13.

Puedes también razonar que, habiendo n vértices, de cada vértice se pueden formar n - 3 diagonales, por lo que el total de diagonales será n * (n - 3) pero hay que dividir entre 2 porque la diagonal de el vertice a al b es la misma que del b al a.

Es decir, la fórmula para el número de diagonales es : n * (n - 3) / 2 = 65

Puedes resolver esa ecuación, como ya sabes el resultado podemos solo verificar que se cumple : 13 * (13 - 3) / 2 = 13 * 10 / 2 = 130 / 2 = 65.

Por tanto, se ha verificado que la respuesta es 13.