Si el punto x_0 es singular regular, la ecuación r(r - 1) + p_0 r + q_0 = 0, donde p_0 = lim┬(x→x_0 )⁡(x - x_0 )f(x), q_0 = lim┬(x→x_0 )⁡〖(x - x_0 ) ^ 2 g(x)〗 se llama ecuación indicial?

Respuesta.

La afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA.

Teniendo la ecuación inicial r(r - 1) - 1 / 2·r + 1 / 2 = 0, r = 1 y r = 1 / 2 si son raícesiniciales ya que al sustituirlosen la ecuación se cumple la igualdad.

Ademas de la ecuación indicial sabemos que p₀ = - 1 / 2 y q₀ = 1 / 2.

Sin embargo teniendo la ecuación diferencial :

(x + 2)·x²·y'' - x·y' + (1 + x)·y = 0

Transformamos la ecuación en su forma estándar dividiendo todo entre el término (x + 2)·x².

Tenemos :

y'' + [( - x) / (x + 2)·x²]·y' + [(1 + x) / (x + 2)·x²]·y = 0

Donde p₀ viene definido por :

p₀ = lim(x→x₀) (x - x₀)·p₀

Entonces p₀ va a ser :

p₀ = lim(x→ - 2) (x + 2)· [( - x) / (x + 2)·x²] = - 1 / 2

Ahora calculamos qo, el cual viene definido por :

q₀ = lim(x→x₀) (x - x₀)²·q₀

Entonce :

q₀ = lim(x→ - 2) (x + 2)²·[(1 + x) / (x + 2)·x²] = 0

Se puede notar que los q₀ difiere según la ecuación inicial y la singularidad en x = - 2 , por ello es una afirmación verdadera pero la razón es falsa.