Me podrían ayudar con la demostración?

Bueno, si quieres una demostración media decente.

Deberías demostrar algunas identidades extras.

Para justificar cada paso.

De igual manera que para la identidades trignométricas habituales.

Para demostrar que,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Csin%5E%7B2%7D%28x%29%2B%5Ccos%5E%7B2%7D%28x%29%3D1" />

donde claramente.

Sabemos que ésta fórmula se produce del teorema de pitágoras.

Aplicada a una circunferencia de radio 1.

Donde la coordenada en equis en cualquier punto en especial el primer cuadrante está dado por cos(x) y lla coordenada en el eje ye, es sin(x), entonces por el teorema de pitágoras fácilmente deduces esa identidad.

Ahora para las hiperbólicas hacemos casi lo mismo, pero ahora vamos a suponer una HIPÉRBOLA RECTANGULAR O EQUILÁTERA.

Te recomiendo que busques en la geometría de calvache.

De donde sabemos que, su fórmula será,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E%7B2%7D-y%5E%7B2%7D%3D1" />

lo siguiente que también te recomiendo aprendas a demostrar.

Entonces vamos a dar por sentado que,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Ccosh%28x%29%3D%5Cfrac%7Be%5E%7B%5Calpha%7D%2Be%5E%7B-%5Calpha%7D%7D%7B2%7D%5Chspace%7B6mm%7D%5Csinh%28x%29%3D%5Cfrac%7Be%5E%7B%5Calpha%7D-e%5E%7B-%5Calpha%7D%7D%7B2%7D" />

éstas nacen, de las asíntotas que presenta la hipérbola dada por

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20y%3D%5Cfrac%7Be%5E%7B%5Calpha%7D%7D%7B2%7D%5Chspace%7B5mm%7Dy%3D%5Cfrac%7Be%5E%7B-%5Calpha%7D%7D%7B2%7D" />

de donde se deduce de igual manera que,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%5Ccosh%28%5Calpha%29%5C%5C%0Ay%3D%5Csinh%28%5Calpha%29%0A" />

ahora, te dejo de tarea que demuestres que,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ccosh%28%5Calpha%29%2B%5Csinh%28%5Calpha%29%3De%5E%7B%5Calpha%7D%5C%5C%5Ccosh%28%5Calpha%29-%5Csinh%28%5Calpha%29%3De%5E%7B-%5Calpha%7D" />

usando ésta información que sabes.

De aquí ya podemos demostrar si multiplicamos la primera de éstas ecuaciones por la segunda así,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ccosh%28%5Calpha%29%2B%5Csinh%28%5Calpha%29%3De%5E%7B%5Calpha%7D%5C%5C%28%5Ccosh%28%5Calpha%29-%5Csinh%28%5Calpha%29%29%5B%5Ccosh%28%5Calpha%29%2B%5Csinh%28%5Calpha%29%5D%3De%5E%7B-%5Calpha%7De%5E%7B%5Calpha%7D%5C%5C%5Ccosh%5E%7B2%7D%28%5Calpha%29-%5Csin%5E%7B2%7D%28%5Calpha%29%3De%5E%7B0%7D%3D1" />

y eso es lo que queríamos demostrar.

Ahora si podemos usarla con todo el derecho, plenitud y felicidad.

Ahora vamos a demostrar una muy importante, propiedad.

Que es la suma de ángulos para el coseno hiperbólico.

Es fácil.

Por ejemplo, sabemos que,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Ccosh%28%5Calpha%29%3D%5Cfrac%7Be%5E%7B%5Calpha%7D%2Be%5E%7B-%5Calpha%7D%7D%7B2%7D" />

vamos a suponer que, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Calpha%3D%5Cbeta%2B%5Cbeta%3D2%5Cbeta" /> que es el ángulo que nos interesa saber, entonces,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Ccosh%282%5Cbeta%29%3D%5Cfrac%7Be%5E%7B2%5Cbeta%7D%2Be%5E%7B-2%5Cbeta%7D%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7Be%5E%7B%5Cbeta%2B%5Cbeta%7D%2Be%5E%7B-%28%5Cbeta%2B%5Cbeta%29%7D%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7Be%5E%7B%5Cbeta%7De%5E%7B%5Cbeta%7D%2Be%5E%7B-%5Cbeta%7De%5E%7B-%5Cbeta%7D%7D%7B2%7D" />

de aquí sabemos que,

[img = 10]

la segunda de éstas dos igualdades.

Es fácil de demostrar, puesto que la función seno es impar, entonces seno hiperbolico tamibén es impar por lo tanto , [img = 11], y como el coseno es una función par, entonces el coseno hiperbolico tambien lo es, entonces [img = 12], entonces,

[img = 13]

bueno, sigamos en lo que estábamos,

[img = 14]

disculpa que la letra se reduzca.

Pero no entraba todo en la letra más grande.

Bien, ahora si con las dos demostraciones que hemos hecho podemos jugar .

Con ellas.

Por ejemplo.

[img = 15]

listo.

Ya demostrada las identidades anteriores.

Podemos usarlas con todo gusto.

Sin que nos recriminen de donde rayos te inventaste eso¡.

No es una demostración muy formal.

Pero por el momento te servirá.

Y funciona para ,

[img = 16]

y eso sería todo.

Tenía éste PDF medio simpático de mi colegio, con el cual están las demostraciones poco formales de algunas identidades.

Pero contiene el manejo apropiado de las funciones y las razones trignométricas.

Que es lo más importante.

Te lo dejaré abajito

Espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas.