Los catetos de un triángulo miden x e y cm, la hipotenusa mide 17 cm ; calcular la variación del cateto x (en cm / seg), si y = 5 cm e incrementa en 3 cm / seg.
En resumen
La variación del cateto x es <img src="https://tex.z-dn.net/?
La variación del cateto x es <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbold%20%7B-%5Cfrac%7B5%5Csqrt%7B66%7D%7D%7B44%7D%20%5Cquad%20cm%2Fseg%7D" />
Explicación paso a paso : Del planteamiento se entiende que las distancias x y son variables y que lo hacen en función del tiempo ; además sabemos que las podemos relacionar por medio del teorema de Pitagoras : (Hipotenusa)² = (Cateto Opuesto)² + (Cateto Adyacente)²
En el caso que nos ocupa : (17)² = (x)² + (y)²
Ahora bien, la variación en el tiempo no es más que la derivada implícita con respecto al tiempo :
d[(17)²] / dt = d[(x)²] / dt + d[(y)²] / dt ⇒ 0 = 2x dx / dt + 2y dy / dt ⇒ dx / dt = ( - y / x) dy / dt
Vamos a calcular el valor de x para las condiciones dadas :
(17)² = (x)² + (y)² ⇒ (17)² = (x)² + (5)² ⇒
(17)² - (5)² = (x)² ⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbold%7Bx%3D2%20%5Csqrt%7B66%7D%7D" /> Finalmente calculamos dx / dt sustituyendo los valores conocidos en la función derivada :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3D-%5Cfrac%7B%285%29%7D%7B2%20%5Csqrt%7B66%7D%7D%283%29%20%5Cquad%20%5CRightarrow" /> <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbold%20%7B%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3D-%5Cfrac%7B5%5Csqrt%7B66%7D%7D%7B44%7D%20%5Cquad%20cm%2Fseg%7D" />.
Hipotenusa = C cateto "en el piso" o en el eje x = B cateto en el eje y = A _si es un triangulo rectangulo entonces a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 (c siempre va a ser la hipotenusa, nunca puede ser uno de los catetos que forman…
C² = a² + b² 20² = a² + 8² 400 = a² + 64 a² = 400 - 64 a² = 336 a = √336 a = 18. 33 El segundo cateto mide : 18. 33 (unidades lineales de longitud).