Halle el valor medio de la función (1 + x ^ 2) / x ^ 2 en el intervalo [2, 5]?
Halle el valor medio de la función (1 + x ^ 2) / x ^ 2 en el intervalo [2, 5].
En resumen
Encálculo diferencial, elteorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet - Lagrangeoteoría del punto medioes una propiedad de las funciones derivables en un intervalo.
Mejor respuesta
Encálculo diferencial, elteorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet - Lagrangeoteoría del punto medioes una propiedad de las funciones derivables en un intervalo.
El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos ; más bien, se usa normalmente parademostrarotros teoremas.
El teorema de valor medio puede usarse para demostrar elteorema de Taylor, ya que es un caso especial.
Para hallar el valor medio solo seguimos la fórmula aplicada la integral deRiemann : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bb-a%7D%20%5Cint%5Climits%5Eb_a%20%7Bf%28x%29%7D%20%5C%2C%20dx%20%20" />
Sustituimos valores :
Donde a = 2 & b = 5
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B5-2%7D%20%5Cint%5Climits%5E5_2%20%7B%20%5Cfrac%7B1%2B%20x%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20x%5E%7B2%7D%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20%20" />
Repartimos la integral :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B5-2%7D%28%20%5Cint%5Climits%5E5_2%20%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20x%5E%7B2%7D%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%2B%20%5Cint%5Climits%5E5_2%20%7B%20%5Cfrac%7B%20x%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20x%5E%7B2%7D%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%29" />
Simplificamos y pasamos el denominadorde x al cuadrado como numerador y su exponente lo convertimos en negativo :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B5-2%7D%28%20%5Cint%5Climits%5E5_2%20%20x%5E%7B-2%7D%20%20%5C%2C%20dx%2B%20%5Cint%5Climits%5E5_2%20%7D1%20%5C%2C%20dx%29" />
Son integrales directas así que simplemente procedemos a integrar :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B5-2%7D%28%20%20%5Cfrac%7B%20x%5E%7B-1%7D%20%7D%7B-1%7D%20%2Bx%29" />
Y la equis evaluada desde 2 hasta 5, y procedemos a aplicar el teorema fundamental del calculo en la función<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%28%20x-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%29" />
Y nos quedaría :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5B%28%205-2%29-%28%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%5D%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%28%20%5Cfrac%7B33%7D%7B10%7D%20%29%3D%5Cfrac%7B11%7D%7B10%7D" />.
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