En que consiste limites y derivadas?

Calcular el límitelimx→1(x2 + 2x−1x2 + 1) = 1limx→1(x2 + 2x−1x2 + 1) = 1Límites indeterminados de la forma 0 / 0 o ∞ / ∞.

Regla de L'Hôpitallimx→af(x)g(x) = limx→af'(x)g'(x)limx→0sin(ax)x = limx→0acos(ax)1 = alimx→af(x)g(x) = limx→af'(x)g'(x)limx→0sin(ax)x = limx→0acos(ax)1 = aOtras formas indeterminadas son 0·∞ y ∞ - ∞ que se transforman en 0 / 0 o ∞ / ∞.

Ejemplos : limx→0(1sin2x−1x2)limx→∞(1 + ax)xlimx→0(cos(2x))3 / x2>> sym x a ;

>> y = (x ^ 2 + 2 * x - 1) / (x ^ 2 + 1) ;

>> limit(y, x, 1)

ans = 1

>> limit(sin(a * x) / x, x, 0) % alternativamente, limit(sin(a * x) / x)

ans = a

>> limit((1 + a / x) ^ x, x, inf) %alternativamente, limit((1 + a / x) ^ x, inf)

ans = exp(a)

>> y = 1 / (sin(x) ^ 2) - 1 / x ^ 2 ;

>> limit(y, x, 0)

ans = 1 / 3

>> y = cos(2 * x) ^ (3 / x ^ 2) ;

>> limit(y, x, 0)

ans = 1 / exp(6)infrepresenta en MATLAB el infinito, xrepresenta la variable respecto de la cual se calcula el límite.

La funciónlimitrequiere tres parámetros pero asume valores por defecto, como puede probarse en los comentarios al código.

La derivada de una funciónf(x) es el límitef'(x) = limh→0f(x + h)−f(x)hf'(x) = limh→0f(x + h)−f(x)hLa derivada dey = sin(x) esy' = cos(x)>> syms x h ;

>> limit((sin(x + h) - sin(x)) / h, h, 0)

ans = cos(x)De forma alternativa, podemos calcular las derivadas definiendo la funciónf(x) como función anónima y aplicando la definición de derivada.

>> syms x h ;

>> f = @(x) sin(x)

>> limit((f(x + h) - f(x)) / h, h, 0)

ans = cos(x)Definimos la función anónimaf(x) con cualquier expresión y podemos calcular su derivada.

Límites por la izquierda y por la derechalimx→0−x|x| = −1limx→0 + x|x| = 1limx→0−x|x| = −1 limx→0 + x|x| = 1>>syms x ;

>> limit(x / abs(x), x, 0, 'left')

ans = - 1

>> limit(x / abs(x), x, 0, 'right')

ans = 1Derivada de una funciónLa funcióndiffcalcula la derivada de una función respecto a una variablex.

Por defecto, calcula la derivada primera, pero también puede calcular la derivada segunda, tercera, etc.

, indicándoselo en su segundo argumento.

>> syms x ;

>> y = (sin(x)) ^ 2 ;

>> yp = diff(y)

yp = 2 * cos(x) * sin(x)

>> ypp = diff(yp)

ypp = 2 * cos(x) ^ 2 - 2 * sin(x) ^ 2

>> diff(y, 2)

ans = 2 * cos(x) ^ 2 - 2 * sin(x) ^ 2Derivadas parciales (respecto de una variable)>> syms x y ;

>> diff(x * sin(x * y), x)

ans = sin(x * y) + x * y * cos(x * y)

>> diff(x * sin(x * y), y)

ans = x ^ 2 * cos(x * y)Comprobar que la funcióny = Ae−2xcos(3x + b)y = Ae−2xcos(3x + b)es la solución de la ecuación diferencial que describe las oscilaciones amortiguadas, dondeAybson constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales (posición inicial y velocidad inicial).

D2ydx2 + 4dydx + 13y = 0d2ydx2 + 4dydx + 13y = 0>> syms x A b ;

>> y = A * exp( - 2 * x) * cos(3 * x + b) ;

>> diff(y, 2) + 4 * diff(y) + 13 * y

ans = 0.