Diseño de un tanque de base cuadrada. La fundidora donde usted trabaja ha sido contratada para diseñar y construir un tanque rectangular de acero, de base cuadrada, abierto por arriba y con una capacidad de 500 pies3. El tanque se tiene que hacer soldando placas delgadas de acero a lo largo de sus bordes. Como ingeniero de producción, su trabajo consiste en determinar las dimensiones de la base y la altura que harán que el tanque pese lo menos posible.
La base debe ser un cuadrado de longitud 10 pies y la altura de 5 piesComo es una base cuadrada entonces es un prisma de base cuadradaSea "a" la longitud de la base y "h" la altura, el volumen es : V = a² * h = 500 pies³h = 500 pies³ / a²El área será : A = a² + 4 * a * hy sera proporcional al peso del tanqueQueremos : Minimizar A = a² + 4 * a * hS.
A. = h = 500 pies³ / a²Sustituyendo el valor de h : A = a² + 4 * a * (500 pies³ / a²)A = a² + 4 * (500 pies³ / a) = a² + 2000 pies³ / aDerivamos para encontrar el punto crítico : A' = 2a - 2000 pies³ / a²A' = (2a³ - 2000 pies³) / a²Igualamos a ceroA' = 0 ⇔ (2a³ - 2000 pies³) / a² = 0⇔ 2a³ - 2000 pies³ = 0⇔ 2a³ = 2000 pies³⇔ a³ = 1000 pies³a = ∛1000 pies³ = 10 piesBuscamos la segunda derivada para verificar que es un mínimo : A'' = 2 - ( - 2) * 2000 pies³ / a³A'' = 2 + 4000 pies³ / a³A''(10 pies) = 2 + 4000 pies³ / 1000 pies³ = 2 + 4 = 6 > 0Por el criterio de la segunda derivada es un mínimoh = 500 pies³ / (10 pies)² = 5 pies.