Dados dos vértices opuestos de un cuadrado : A(3 ; 0) y C( - 4 ; 1), calcular las coordenadas de los otros dos vértices?

1) Encuentra la pendiente, m, del segmento AC :

m = [y2 - y1] / [x2 - x1] = [1 - 0] / [ - 4 - 3] = - 1 / 7

2) Encuentra al longitud del segmento AC :

AC ^ 2 = [3 - ( - 4)] ^ 2 + [0 - 1] ^ 2 = 7 ^ 2 + 1 ^ 2 = 49 + 1 = 50

AC = √50

3) Encuentra el punto medio (x, y) del segmento AC

x = [3 + ( - 4)] / 2 = - 1 / 2

y = [0 + 1] / 2 = 1 / 2

(x, y) = ( - 1 / 2, 1 / 2)

4) Los vértices buscados están en un segmento perpendicular al segmento AC,

pasarán por el mismo punto medio hallado y estarán a una distancia de dicho

punto medio igual a la mitad de la longitud del segmento AC.

5) ecuación de la recta perpendicular al segmento AC y que pasa por el punto

( - 1 / 2, 1 / 2)

pendiente = - 1 / m = - 1 / ( - 1 / 7) = 7

y - (1 / 2) = 7[x – ( - 1 / 2)]

y = 7x + 7 / 2 + 1 / 2 = 7x + 4

6) distancia del punto medio de la recta igual a los vértices buscados

[ y - 1 / 2] ^ 2 + [ x - ( - 1 / 2)] ^ 2 = [ (√50) / 2] ^ 2

sustituye y = 7x + 4

[7x + 4 - 1 / 2] ^ 2 + [x + 1 / 2] ^ 2 = 50 / 4

[7x + 7 / 2] ^ 2 + [x + 1 / 2] ^ 2 = 50 / 4

Expande los productos notables y desarrolla le ecuación

49x ^ 2 + 49x + 49 / 4 +

x ^ 2 + x + ¼ = 50 / 4

50x ^ 2 + 50x + 50 / 4 = 50 / 4

50x ^ 2 + 50x = 0

x ^ 2 + x = 0

Factoriza para encontrar las soluciones

x(x + 1) = 0

x = 0 ; x = - 1

Halla los valores de y correspondientes

y = 7x + 4 = >

y = 7(0) + 4 = 4

y = 7( - 1) + 4 = - 7 + 4 = - 3

Los dos puntos (vértices) son (0, 4) ( - 1, - 3)

Si realizas un dibujo en papel cuadriculado, y colocas los cuatro vértices, verás que es un cuadrado.

Respuesta : (0, 4) ; ( - 1, - 3).