Considerar Z = (2, 1, 5)Z = (2, 1, 5), P = (4, −1, 1)P = (4, −1, 1), Q = (1, −2, 2)Q = (1, −2, 2) y R = (1, −1, 3)R = (1, −1, 3)?

Organizando los datos, tenemos :

Z = (2, 1, 5)

P = (4, - 1, 1)

Q = (1, - 2, 2)

R = (1, - 1, 3)

Primero, debemos calcular la ecuación del plano que pasa por los 3 puntos

La ecuación del plano que contiene a los puntos P, Q y R y cualquier punto de coordenadas (x, y, z)

| x - x1 y - y1 z - z1 |

| x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 | = 0

| x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 |

Si establecemos que :

(x1, y1, z1) = ( 4, - 1, 1 )

(x2, y2, z2) = ( 1, - 2, 2 )

(x3, y3, z3) = ( 1, - 1, 3 )

| x - 4 y + 1 z - 1 |

| 1 - 4 - 2 + 1 2 - 1 | = 0

| 1 - 4 - 1 + 1 3 - 1 |

|x - 4 y + 1 z - 1|

| - 3 - 1 1 | = 0

| - 3 0 2 |

( x - 4) * ( - 1) * (2) + ( y + 1) * (1)( - 3) - [ (z - 1) * ( - 1) * ( - 3) + (y + 1) * ( - 3) * (2) ] = 0

(x - 4) * ( - 2) + ( y + 1 ) * ( - 3) - [ (z - 1) * (3) + (y + 1) * ( - 6) ] = 0 - 2x + 8 - 3y - 3 - [ 3z - 3 - 6y - 6 ] = 0 - 2x - 3y + 5 - ( 3z - 6y - 9 ) = 0 - 2x - 3y + 5 - 3z + 6y + 9 = 0 - 2x + 3y - 3z + 14 = 0

2x - 3y + 3z - 14 = 0⇒ ecuación del plano que contiene a los puntos P, R y Q

La distancia de un punto a un plano se calcula de la siguiente manera :

d(Z, π) = | Axo + Byo + Czo + D | / √ (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2 )

π : Ax + By + Cz + D = 0⇒ ecuación general de un plano

Z = (xo, yo, zo)⇒ coordenadas del punto

d(Z, π) = | (2) * (2) + ( - 3) * (1) + (3) * (5) - 14 | / √ [ (2) ^ 2 + ( - 3) ^ 2 + (3) ^ 2 ]

d(Z, π) = | 4 - 3 + 15 - 14 | / √ ( 4 + 9 + 9 )

d(Z, π) = | 1 + 1 | / √ (22)

d(Z, π) = 2 / √22

d(Z, π) = 0, 43 unidades⇒ distancia del punto Z al plano que contiene P, Q y R

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