Sea la variable dependiente E, gastos en educación ( o Y), y la variable independiente I , ingresos mensuales ( o X), determinar la recta de regresión Y en X.
Datos : R² = 90, 25% - Coeficiente de DeterminaciónMi = $ 420 - Media de Ingreso Mensual (Xprom)Me = $ 120 - Media de gastos de Educación Mensual (Yprom)Ei = $ 10 - Desviación Estándar de Ingreso Mensual ( √Var (x) )Ee = $ 7 - Desviación Estándar de Educación Mensual ( √Var (y) )
La recta de regresión lineal de y en x, cuando existen múltiples observaciones (n) de la variable dependiente Y (estimada), como se deduce por el enunciado, es de la forma : Yest = β₁est + β₂est X ; ( 1 ) , donde β₁est y β₂est son los valores estimados del corte de la recta con el eje Y y la pendiente de la recta, respectivamente.
Igualmente : β₁est = Yprom - β₂est * Xprom ; ( 2 ) ; β₂est = cov (x, y) / var(x) ; ( 3 ) siendo cov (x, y), la covarianza de la var.
X y Y y var (x), la varianza de la var.
X. la covarianza se determina de la ecuación : R² = cov²(x, y) / var (x).
Var (y) ⇒ cov (x, y) = √(R².
Var (x).
Var (y) ) ; (4)
Entonces se proceden a determinar los parámetros correspondientes.
De la ec.
(4) : cov (x, y) = √(R².
Var (x).
Var (y) ) ; remplazando las variables se tiene : cov (x, y) = √0, 9025 * 10² * 7² = 66, 50 ⇒ cov (x, y) = 66, 50
Reemplazando la cov (x, y) en ec.
( 3) : β₂est = cov (x, y) / var(x)β₂est = 66, 5 / 10² = 0, 665 ∴ β₂est = 0, 665
De la ec.
( 2 ), se obtiene β₁est : β₁est = Yprom - β₂est * Xprom = 120 - 0, 665 * 420 = 120 - 279, 3 = - 159, 3
∴ β₁est = - 159, 3 De lo efectuado anteriormente, se concluye que la recta de regresión de y en x se expresa, de acuerdo a la ec.
( 1 ), como :
Yest = - 159, 3 + 0, 665 X
A tu orden.