¿como es posible cambiar el sentido de una traslación utilizando números enteros ?

Halla el lado x del tri´angulo equil´atero de la figura siguiente 2 Soluci´on.

Por el teorema del coseno en el tri´angulo T, 1 = 7 + 7 − 14 cos β, luego cos β = 13 14 , sen β = √ 27 14 y 2 cos2 α = 1 + cos(2α) = 1 + cos π 3 − β = 1 + 1 2 · 13 14 + √ 3 2 · √ 27 14 = 1 + 11 14 = 25 14 , luego cos α = 5 2 √ 7 .

De nuevo por el teorema del coseno en el tri´angulo W, 4 = 7 + x 2 − 2 √ 7 x cos α = 7 + x 2 − 5x, de donde x 2 − 5x + 3 = 0.

Como x > 1, debe ser x = 1 2 (5 + √ 13 ).

61. Sean n ≥ 3 y a2, a3, .

. . , an n´umeros reales positivos tales que a2 ·a3 · · · an = 1.

Demuestra que (1 + a2) 2 · (1 + a3) 3 · · ·(1 + an) n > nn .

Soluci´on 1.

Usando la desigualdad entre las medias aritm´etica y geom´etrica de n´umeros positivos, tenemos (1 + ak) k = ak + 1 k−1 + · · · + 1 k−1 k ≥ k k · ak (k − 1)k−1 , 3 estricta salvo que sea ak = 1 k−1 .

Multiplicando estas desigualdades desde k = 2 hasta k = n resulta (1 + a2) 2 · (1 + a3) 3 · · ·(1 + an) n ≥ 2 2 1 · 3 3 2 2 · · · n n (n − 1)n−1 · a2 · a3 · · · an = n n .

Y la igualdad es estricta, porque 1 2 · 1 3 · · · 1 n 6 = 1.

Soluci´on 2.

Utilizamos la siguiente desigualdad, que se puede probar por inducci´on : Desigualdad de Bernoulli : Para n ≥ 0 y α > −1 se cumple 1 + nα ≤ (1 + α) n , con igualdad si y s´olo si α = 0 ´o n = 0, 1.

Haciendo α = t−1 n > −1 (⇔ t > 1 − n), se obtiene 1 + t − 1 n n − t ≥ 0 ⇔ n n − 1 n n − 1 n + t n n − t ≥ 0 ⇔ 1 + t n − 1 n ≥ n n − 1 n t ⇔ (1 + x) n ≥ n n (n − 1)n−1 x.

Tomando aqu´ı sucesivamente x = a2, n = 2, .

. . , x = an, n = n y multiplicando, nos queda la relaci´on a probar.

62. Sup´on que el polinomio f(x) = x n + a1x n−1 + a2x n−2 + · · · + an−1x + an tiene coeficientes enteros y que hay cuatro n´umeros enteros distintos a, b, c y d tales que f(a) = f(b) = f(c) = f(d) = 5.

Prueba que no hay ning´un entero k tal que f(k) = 8.

Soluci´on.

El polinomio f(x) − 5 tiene las cuatro raices enteras a, b, c y d, y por consiguiente f(x) − 5 = (x − a)(x − b)(x − c)(x − d) g(x), donde g(x) = x m + b1x m−1 + b2x m−2 + · · · + bm−1x + bm (m = n − 4) y los coeficientes bj son enteros.

Entonces, si hay un entero k para el que se cumple f(k) = 8, se tendr´a (k − a)(k − b)(k − c)(k − d) g(k) = 3, y esto implica que al menos tres de los cuatro n´umeros enteros k − a, k − b, k − c y k − d son iguales a 1 o −1, as´ı que dos de ellos tendr´ıan que ser iguales, contradicci´on.

63. Sea ABCD un cuadrado, F el punto medio del lado CD y E un punto cualquiera del lado AB tal que AE > EB.

Sea H el punto del lado BC tal que DE k F H.

Prueba que EH es tangente a la circunferencia inscrita en el cuadrado.

ESPERO QUE TE SIRVA .