CALCULAR POR MÉTODO DE VARIABLES SEPARABLES?

Tu ejercicio es el siguiente

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%20y%5E%7B3%7D%20dx%3D%20e%5E%7B%20x%5E%7B2%7D%20%7D%20dy" />

Lo que debemos hacer es justamente separar todo lo que tenga "x" a un lado todo lo que tenga "y" al otro lado

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B%20e%5E%7B%20x%5E%7B2%7D%20%7D%20%7Ddx%3D%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7B%20y%5E%7B3%7D%20%7D%20" />

Ahora si, integramos a cada lado.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%5Cint%5Climits%20%7B%5Cfrac%7Bx%7D%7B%20e%5E%7B%20x%5E%7B2%7D%20%7D%20%7D%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D%20%20%5Cint%5Climits%7B%5Cfrac%7Bdy%7D%7B%20y%5E%7B3%7D%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%20%5Cint%5Climits%20%7B%20xe%5E%7B%20-x%5E%7B2%7D%20%7D%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D%20%20%5Cint%5Climits%7By%5E%7B-3%7Ddy%20%20%7D%20%5C%2C" />

Para integrar el lado izquierdo.

Podemos hacer un cambio de variable.

O integrar por sustitución, es decir escojamos

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=u%3D%20x%5E%7B2%7D%20" />

Ahora ah ésto tenemos que derivar y despejamos el diferencial de "x"

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=du%3D2xdx%20%5C%5C%20dx%3D%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7B2x%7D%20" />

Ahora para integrar el lado derecho no es muy difícil cierto.

Es una integral directa que nos dice lo siguiente

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%20%7Bx%20%5E%7Bn%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D%20%5Cfrac%7Bx%20%5E%7Bn%2B1%7D%20%7D%7Bn%2B1%7D%20%2BC" />

Ojo ésta integral directa, solo funciona cuando n≠ - 1

Ya tenemos todo ahora si

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Climits%20%7B%20xe%5E%7B%20-x%5E%7B2%7D%20%7D%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D%20%5Cint%5Climits%7By%5E%7B-3%7Ddy%20%7D%20%5C%2C%20%5C%5C%20%5Cint%5Climits%20%7B%20xe%5E%7B%20-u%20%7D%7D%20%5C%2C%20%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7B2x%7D%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7By%20%5E%7B-3%2B1%7D%20%7D%7B-3%2B1%7D%20%20" />

mira que la "x" se nos va a simplificar.

Además.

Basta que aumentemos una constante a todo el ejercicio, no es necesario aumentar las dos constantes de integración de cada integral.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5C%5C%20%5Cint%5Climits%20%7B%20xe%5E%7B%20-u%20%7D%7D%20%5C%2C%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7B2x%7D%20%3D%20%5Cfrac%7By%20%5E%7B-3%2B1%7D%20%7D%7B-3%2B1%7D%20%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cint%5Climits%20%7B%20e%5E%7B%20-u%20%7D%7D%20%5C%2C%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7By%20%5E%7B-2%7D%20%7D%7B-2%7D%20%2BC%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%20%5Cint%5Climits%20%7B%20e%5E%7B-u%7D%20%7D%20%5C%2C%20du%20%3D-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2y%5E%7B2%7D%20%7D%20%2BC%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%28-%20e%5E%7B%20-u%7D%20%29%3D-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2y%5E%7B2%7D%20%7D%20%2BC%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%20e%5E%7B%20-x%5E%7B2%7D%20%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20y%5E%7B2%7D%20%7D%20%3DC" />

Y eso sería todo.

Como no nos dan condiciones iniciales queda expresado como una constante (C).