Ayuda por favor con otros ejercicios de calculo diferencial. Con procedimiento y propiedad aplicada en los ejercicios. Gracias. Determine la derivada de las siguientes funciones : (Visualizar y Ampliar Imagen).
En resumen
Para éstos ejercicio tenemos que hacer uso de la regla de la cadena que dice así Supongamos dos funciones f(x) y g(x), si hacemos la composición de éstas dos funciones es decir : <img src="https://tex.z-dn.net/?
Para éstos ejercicio tenemos que hacer uso de la regla de la cadena que dice así
Supongamos dos funciones f(x) y g(x), si hacemos la composición de éstas dos funciones es decir :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28f%20_%7Bo%7D%20g%29%28x%29%3Df%28g%28x%29%29" />
Si queremos derivar ésta composición sería así
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=F%28x%29%3Df%28g%28x%29%29%20%5C%5C%20F%27%28x%29%3Df%28g%28x%29%29%27%28g%28x%29%29%27" />
Tenemos que derivar primero la función "más superficial".
Luego derivamos lo que está dentro.
Veamos.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%29f%28x%29%3D%28%20x%5E%7B2%7D%20%2Bx%29%5E%7B6%7D%20%5C%5C%20f%27%28x%29%3D%286%29%28%20x%5E%7B2%7D%20%2Bx%29%20%5E%7B6-1%7D%20%28%20x%5E%7B2%7D%20%2Bx%29%27%20%5C%5C%20f%27%28x%29%3D6%28%20x%5E%7B2%7D%20%2Bx%29%20%5E%7B5%7D%20%282x%2B1%29" />
Primero derivamos la función más superficial sin mover nada del interior.
Y luego multiplicamos por la derivada de lo que está dentro.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=b%29f%28x%29%3D%282%20x%5E%7B3%7D%20%2B1%29%20%5E%7B-5%7D%20%20%5C%5C%20f%27%28x%29%3D%28-5%29%282%20x%5E%7B3%7D%2B1%20%29%20%5E%7B-5-1%7D%20%28%202x%5E%7B3%7D%2B1%20%29%27%20%5C%5C%20f%27%28x%29%3D-5%282%20x%5E%7B3%7D%2B1%20%29%20%5E%7B-6%7D%20%286%20x%5E%7B2%7D%20%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20c%29f%28x%29%3D%282x%2B3%29%20%5E%7B%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%7D%20%20%5C%5C%20f%27%28x%29%3D%28%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%29%282x%2B3%29%20%5E%7B%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D-1%20%7D%20%282x%2B3%29%27%20%5C%5C%20f%27%28x%29%3D%20%5Cfrac%7B3%282x%2B3%29%20%5E%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7D%20%7D%7B2%7D%20%282%29%20%5C%5C%20f%27%28x%29%3D3%20%5Csqrt%7B2x%2B3%7D%20%20" />
Para el siguiente ejercicio podemos resolverlo usando la derivada de la raíz.
O usando el artificio de los exponentes.
Y haciendo uso de la regla de cadena
Usando la derivación de la raíz.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20d%29f%28x%29%3D%20%5Csqrt%7B%20x%5E%7B3%7D%2B1%20%7D%20%20%5C%5C%20f%27%28x%29%3D%20%5Cfrac%7B%28%20x%5E%7B3%7D%2B1%20%29%27%7D%7B2%28%20%5Csqrt%7B%20%28x%5E%7B3%7D%2B1%29%20%5E%7B2-1%7D%20%20%7D%20%29%7D%20%20%5C%5C%20f%27%28x%29%3D%20%5Cfrac%7B3%20x%5E%7B2%7D%20%7D%7B2%20%5Csqrt%7B%20x%5E%7B3%7D%2B1%20%7D%20%7D%20" />
usando las propiedades de los exponentes
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%20%5Csqrt%7B%20x%5E%7B3%7D%2B1%20%7D%20%20%5C%5C%20f%28x%29%3D%28%20x%5E%7B3%7D%2B1%20%29%20%5E%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7D%20%20%5C%5C%20f%27%28x%29%3D%28%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%29%28%20x%5E%7B3%7D%2B1%20%29%20%5E%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-1%20%7D%20%28%20x%5E%7B3%7D%2B1%20%29%27%20%5C%5C%20f%27%28x%29%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%28%20x%5E%7B3%7D%20%2B1%29%20%5E%7B-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7D%20%283%20x%5E%7B2%7D%20%29%20%5C%5C%20f%27%28x%29%3D%20%5Cfrac%7B3%20x%5E%7B2%7D%20%7D%7B2%28%20%28%20x%5E%7B3%7D%2B1%20%29%5E%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7D%20%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B3%20x%5E%7B2%7D%20%7D%7B2%20%5Csqrt%7B%28%20x%5E%7B3%7D%20%2B1%29%7D%20%7D%20" />
Y como te das cuenta llegamos a los mismo.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=e%29f%28t%29%3D%20%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B%20t%5E%7B2%7D%2B1%20%7D%7B%20t%5E%7B2%7D-1%20%7D%20%7D%20%20%5C%5C%20f%28t%29%3D%28%20%5Cfrac%7B%20t%5E%7B2%7D%2B1%20%7D%7B%20t%5E%7B2%7D-1%20%7D%20%29%20%5E%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7D%20%20%5C%5C%20f%27%28t%29%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%28%20%5Cfrac%7B%20t%5E%7B2%7D%2B1%20%7D%7Bt%5E%7B2%7D-1%20%7D%20%29%20%5E%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-1%20%7D%20%28%5Cfrac%7B%20t%5E%7B2%7D%2B1%20%7D%7Bt%5E%7B2%7D-1%20%7D%29%27%20%20%5C%5C%20f%27%28t%29%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%20%28%5Cfrac%7B%20t%5E%7B2%7D%2B1%20%7D%7Bt%5E%7B2%7D-1%20%7D%29%20%5E%7B-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7D%20%28%20%5Cfrac%7B%28%20t%5E%7B2%7D%2B1%20%29%27%28%20t%5E%7B2%7D-1%20%29-%28%20t%5E%7B2%7D-1%20%29%27%28%20t%5E%7B2%7D%2B1%20%29%7D%7B%20%28%20t%5E%7B2%7D-1%20%29%5E%7B2%7D%20%7D%20%29%20%5C%5C%20f%27%28t%29%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%28%20%5Cfrac%7Bt%5E%7B2%7D-1%7D%7Bt%5E%7B2%7D%2B1%7D%20%29%20%5E%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7D%20%28%20%5Cfrac%7B%282t%29%28%20t%5E%7B2%7D-1%20%29-%282t%29%28%20t%5E%7B2%7D%2B1%20%29%7D%7B%20%28%20t%5E%7B2%7D%20-1%29%5E%7B2%7D%20%7D%20" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20f%27%28t%29%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%28%20%5Cfrac%7Bt%5E%7B2%7D-1%7D%7Bt%5E%7B2%7D%2B1%7D%20%29%20%5E%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7D%20%28%20%5Cfrac%7B%282t%29%28%20t%5E%7B2%7D-1%20%29-%282t%29%28%20t%5E%7B2%7D%2B1%20%29%7D%7B%20%28%20t%5E%7B2%7D%20-1%29%5E%7B2%7D%20%7D%20%20%5C%5C%20f%27%28t%29%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B%20t%5E%7B2%7D-1%20%7D%7B%20t%5E%7B2%7D%2B1%20%7D%20%7D%20%28%20%5Cfrac%7B2%20t%5E%7B3%7D-2t-2%20t%5E%7B3%7D%20-2t%20%7D%7B%20%28%20t%5E%7B2%7D-1%20%29%5E%7B2%7D%20%7D%20%29%20%5C%5C%20f%27%28t%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B%20t%5E%7B2%7D-1%20%7D%7B%20t%5E%7B2%7D%2B1%20%7D%20%7D%20%28-%20%5Cfrac%7B4t%7D%7B%20%28%20t%5E%7B2%7D-1%20%29%5E%7B2%7D%20%7D%20%29" />
Podríamos reducir un poco más, usando las propiedades de los exponentes del cociente que nos dice
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%20x%5E%7Bm%7D%20%7D%7B%20x%5E%7Bn%7D%20%7D%20%3D%20x%5E%7Bm-n%7D%20" />
Si te fijas tenemos dos factores iguales en el denominador y numerador.
Podemos distribuir la raíz para el numerador y denominador y luego aplicar ésta propiedad.
Para seguir reduciendo esa expresión.
Pero hasta ahí me parece muy conveniente.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%29f%28u%29%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%28u%2B1%29%5E%7B2%7D%20%7D%20%5C%5C%20f%27%28u%29%3D%20%5Cfrac%7B%281%29%27%28u%2B1%29%5E%7B2%7D-%28%20%28u%2B1%29%5E%7B2%7D%20%29%27%281%29%20%7D%7B%20%28%20%28u%2B1%29%5E%7B2%7D%20%29%5E%7B2%7D%20%7D%20%5C%5C%20f%27%28u%29%3D%20%5Cfrac%7B0%28%20%28u%2B1%29%5E%7B2%7D-%282%29%28u%2B1%29%20%5E%7B2-1%7D%28u%2B1%29%27%281%29%20%7D%7B%28%20%28u%2B1%29%5E%7B2%7D%20%29%5E%7B2%7D%7D%20%5C%5C%20f%27%28u%29%3D%20%5Cfrac%7B-2%28u%2B1%29%281%29%7D%7B%20%28%20%28u%2B1%29%5E%7B2%7D%20%29%5E%7B2%7D%20%7D%20%5C%5C%20f%27%28u%29%3D%20-%5Cfrac%7B2%28u%2B1%29%7D%7B%20%28u%2B1%29%5E%7B4%7D%20%7D%20%20%5C%5C%20f%27%28u%29%3D-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%20%28u%2B1%29%5E%7B3%7D%20%7D%20" />
y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas.