Ayuda con esta integral ∫e ^ x - 1 / e ^ x + 1 dx?

∫ (eˣ - 1) / (eˣ + 1) dx

Separando la integral :

∫ (eˣ - 1) / (eˣ + 1) dx = ∫ eˣ / (eˣ + 1) dx - ∫ 1 / (eˣ + 1) dx

Primera :

∫ eˣ / (eˣ + 1) dx

Resolviendo por sustitución :

u = eˣ + 1, du / dx = eˣ, dx = du / eˣ

∫ eˣ / u du / eˣ = ∫1 / u du = Ln u = Ln (eˣ + 1)

Segunda :

∫ 1 / (eˣ + 1) dx

Para esta integral resolveremos por sustitución, pero antes haremos un pequeño truco, sumaremos 0 en el numerador (eˣ - eˣ = 0) :

.

∫ 1 + eˣ - eˣ / (eˣ + 1) dx = ∫(1 + eˣ) / (eˣ + 1) - eˣ / (eˣ + 1) dx = ∫1 - eˣ / (eˣ + 1) dx

volvemos a separar las integrales :

∫1 - eˣ / (eˣ + 1) dx = ∫dx - ∫eˣ / (eˣ + 1) dx

∫dx = x

∫eˣ / (eˣ + 1) dx (Ya la resolvimos) = Ln (eˣ + 1)

∫ 1 / (eˣ + 1) dx = x - Ln (eˣ + 1)

Entonces obtenemos :

∫ (eˣ - 1) / (eˣ + 1) dx = Ln (eˣ + 1) - (x - Ln (eˣ + 1)) = 2 Ln(eˣ + 1) - x + c.