4. Un juego de lanzamiento de dados utiliza una cuadrícula de cuatro casillas?

Hola.

Partiendo de la posición A, se puede llegar a la B con un 1 o con un 5 :

P(A ; B) = 2 / 6

Se puede llegar a la C con un 2 o con un 6 :

P(A ; C) = 2 / 6

Se puede llegar a la D con un 3 :

P(A ; C) = 1 / 6

O se puede volver a la A con 4 :

P(A ; A) = 1 / 6

Por lo tanto, si llamamos "i" a la posición inicial y "j" a la posición final, el vector de probabilidades de la posición inicial es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cpi_%7B0%7D%3DP%28A%3Bj%29%3D%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%3B%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%3B%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%3B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%29%20" />

Si razonamos de la misma manera para cada tiro siguiente, obtendremos la matriz de transición para un tiro partiendo de cualquier casilla :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=P%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%20%26%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%5C%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%5C%5C%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%5C%5C%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20" />

Por lo tanto, si queremos obtener la probabilidad de llegar a cada casilla en una cantidad "n" de tiros :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cpi_%7Bn%7D%20%3D%20%5Cpi_%7B0%7D%20%5Ctimes%20P%5E%7Bn%7D%20%3D%20%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%3B%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%3B%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%3B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%29%20%5Ctimes%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%20%26%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%5C%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%5C%5C%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%5C%5C%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5E%7Bn%7D" />

Por último, si quisiérmos saber el monto a obtener según las probabilidades de caer en cada casilla en una cantidad n de tiros, deberíamos hacer la sumatoria para cada tiro del producto escalar entre cada vector de probabilidades y el vector de valores de cada casilla, es decir :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Csum_%7B1%5Cle%20m%5Cle%20n%7D%28%5Cpi_%7B0%7D%20%5Ctimes%20P%5E%7Bm%7D%29%5Ccdot%284%3B-2%3B-6%3B9%29" />

Saludos!