Cuál es la aceleración radial que experimenta un clasto bien redondeado que cae de una ladera y adquiere una velocidad de 10 m / s al llegar a una caleta horizontal toma una curva de 25 m de radio?

De la definición de radián (unidad natural de medida de ángulos) obtenemos la relación entre el arco y el radio.

Como vemos en la figura, el ángulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su radioDerivandos = rq respecto del tiempo, obtenemos la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angularLa dirección de la velocidad estangente a la trayectoriacircular, es decir, perpendicular a la dirección radialAceleración tangencialDerivando esta última relación con respecto del tiempo obtenemos la relación entre la aceleración tangencialaty la aceleración angular.

Un móvil tiene aceleración tangencial, siempre que el módulo de su velocidad cambie con el tiempo.

Aceleración normalEl cálculo de la componente normal de la aceleración es algo más complicado.

La aceleración normal está relacionada con el cambio de la dirección de la velocidad con el tiempo.

En un movimiento circular uniforme no existe aceleración tangencial ya que le módulo de la velocidad no cambia con el tiempo, solamente cambia su dirección y por tanto, tiene aceleración normal.

Supongamos un móvil que describe un movimiento circular uniforme.

En el instantetla velocidad del móvil esv, cuyo módulo esv, y cuya dirección es tangente a la circunferencia.

En el instantet'la velocidad del móvilv', que tiene el mismo módulov, pero su dirección ha cambiado.

Calculemos el cambio de velocidadDv = v’ - vque experimenta el móvil entre los instantestyt', tal como se ve en la figura.

El vectorDvtiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia.

Los triángulos de color rojo y de color azul de la figura son isósceles y semejantes por lo que podemos establecer la siguiente relaciónDondela cuerda Δses el módulo del vector desplazamiento entre los instantestyt'Dividiendo ambos miembros entre el intervalo de tiempoDt = t' - tCuando el intervalo de tiempoDttiende a cero, la cuerdaDsse aproxima al arco, y el cocienteds / dtnos da el módulo de la velocidadvdel móvil, La aceleración normalantiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe el móvil y su módulo viene dado por una u otra de las expresiones siguientes : Esta es la deducción más elemental de la fórmula de la aceleración normal que se basa en la identificación de la longitud del arco entre dos puntos de la circunferencia con la cuerda que pasa por dichos puntos, cuando ambos puntos están muy próximos entre sí.

Una deducción alternativa se proporciona en la página titulada "Deducción alternativa de las fórmulas de la aceleración tangencial y normal"ResumiendoLa dirección de la velocidad de un móvil en movimiento circular es tangente a la circunferencia que describe.

Un móvil tiene aceleración tangencialatsiempre que cambie el módulo de la velocidad con el tiempo.

El sentido de la aceleración tangencial es el mismo que el de la velocidad si el móvil acelera y es de sentido contrario, si se frena.

Un móvil que describe un movimiento circular uniforme no tiene aceleración tangencial.

Un móvil que describe un movimiento circular siempre tiene aceleración normal, anya que cambia la dirección de la velocidad con el tiempo.

La aceleración normal tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe.

La aceleración del móvil se obtiene sumando vectorialmente ambas componentes de la aceleración.

EjemploUna rueda der = 0.

1 m de radio está girando con una velocidad deω0 = 4π rad / s, se le aplican los frenos y se detiene en 4s.

CalcularLa aceleración angularω = ω0 + αtEn el instantet = 4 s la velocidad angularω = 0α = - π rad / s2El ángulo girado hasta este instante esEn el instantet = 1 s, la posición y la velocidad angular del móvil esθ = 7π / 2 = 2π + 3π / 2 radω = 4π + ( - π)·1 = 3π rad / sLa velocidad linealv = ω·r v = 0.

3π m / sLa componente tangencial de la aceleración esat = α·r at = - 0.

1π m / s2La componente normal de la aceleración esan = v2 / r an = 0.

9π2m / s2Movimiento de una bicicletaUna bicicleta de montaña dispone de tres platos y siete piñones de distinto radio lo que proporciona 21 cambios de marcha al ciclista.

Supondremos que el ciclista hace girar al plato con velocidad angular constantew1.

¿Cuál es la velocidadvque adquiere el ciclista sobre la bicicleta.

Supondremos que conocemos los datos relativos a la bicicleta : Radio del plato seleccionado, r1Radio del piñón seleccionado, r2Radio de la rueda trasera, raRadio de la rueda delantera, rbAunque en la mayor parte de las bicicletas los radios de ambas ruedas son iguales, en algunas como las de competición contra - reloj son diferentes como en la simulación más abajo.

La figura representa un plato y un piñón unidos por una cadena.

No es necesario saber Cinemática para establecer una relación entre sus respectivas velocidades angulares, y concluir que las velocidades angulares son inversamente proporcionales a sus radios respectivos.