¿Los términos hongos y seta son sinónimos?

Resulta que las setas son una clase de hongos (según dicen aquí).

De todas formas, no entiendo, porque según lo que dice el DRAE me parece el revés : confused : ¿O me estoy equivocando?

Hongo

Planta talofita, sin clorofila, de tamaño muy variado y reproducción preferentemente asexual, por esporas.

Es parásita o vive sobre materias orgánicas en descomposición.

Su talo, ordinariamente filamentoso y ramificado y conocido con el nombre de micelio, absorbe los principios orgánicos nutritivos que existen en el medio ; p.

Ej. , el cornezuelo, la roya, el agárico, etc.

Seta

Cualquier especie de hongo, comestible o no, con forma de sombrilla, sostenida por un pedicelo.

Y encima, en italiano no consigo encontrar dos términos para referirse a "hongo" y "seta", sin entrar demasiado en detalle con los nombres específicos.