Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado : Ejercicio c. ∫▒x ^ 2 / √(x ^ 2 - 4) dx.
Pregunta de Baldor · 1 respuesta · 6 votos · mejor respuesta de Joseelpa43
En resumen
Respuesta : <img src="https://tex.z-dn.net/?
Respuesta : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Climits%20%7B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2-4%7D%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D%202ln%28%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%20%7D%7B4%20%7D-1%20%7D%2B%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%29%2B%20x%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%20%7D%7B4%20%7D-1%7D" />Explicación paso a paso : El objetivo es resolver esta integral indefinida : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Climits%20%7B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2-4%7D%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx" />Por las característica de la integral, se puede resolver por sustitución trigonométrica.
Sabemos que : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E%7B2%7D-a%5E%7B2%7D%20%3D%3E%20a%20sec%5Ctheta%20%5C%5Ca%3D2%5C%5Cx%5E%7B2%7D-2%5E%7B2%7D%3D%20%3E%20x%3D2%20sec%5Ctheta" /> a sec \ theta \ \ a = 2 \ \ x ^ {2} - 2 ^ {2} = > x = 2 sec \ theta" alt = "x ^ {2} - a ^ {2} = > a sec \ theta \ \ a = 2 \ \ x ^ {2} - 2 ^ {2} = > x = 2 sec \ theta" align = "absmiddle" class = "latex - formula">Sustituyendo también : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=dx%20%3D%202sec%28%5Ctheta%29tan%28%5Ctheta%29%20d%5Ctheta" />La integral queda como : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Climits%20%7B%5Cfrac%7B%282%20sec%5Ctheta%29%5E2%7D%7B%5Csqrt%7B%282%20sec%5Ctheta%29%5E2-4%20%7D%7D%20%7D%20%5C%2C%202sec%28%5Ctheta%29tan%28%5Ctheta%29d%5Ctheta%5C%5C%5Cint%5Climits%20%7B%5Cfrac%7B8sec%5E3%5Ctheta%2Atan%28%5Ctheta%29%7D%7B%5Csqrt%7B4%7D%20%5Csqrt%7Bsec%5E2%5Ctheta-1%20%7D%7D%20%7D%20%5C%2Cd%5Ctheta%5C%5C4%5Cint%5Climits%20%7B%5Cfrac%7Bsec%5E3%5Ctheta%2Atan%28%5Ctheta%29%7D%7B%20%5Csqrt%7Btan%5E2%5Ctheta%7D%7D%20%7D%20%5C%2C%20d%5Ctheta%5C%5C4%5Cint%5Climits%20%7B%5Cfrac%7Bsec%5E3%5Ctheta%2Atan%28%5Ctheta%29%7D%7B%20tan%5Ctheta%20%7D%20%5C%2C%20d%5Ctheta%5C%5C%5C%5C" />La integral nos queda entonces : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=4%5Cint%5Climits%20%7B%20sec%5E3%5Ctheta%20%7D%20%5C%2C%20d%5Ctheta%20%3D4%28%20%5Cfrac%7Bln%28tan%5Ctheta%2Bsec%5Ctheta%29%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bsec%5Ctheta%2Atan%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29%3D2ln%28tan%5Ctheta%2Bsec%5Ctheta%29%2B%202sec%5Ctheta%2Atan%5Ctheta" />Reemplazando la variable Theta por : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctheta%3Darcsec%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%20%29%7D%5C%5Ctan%20%5Ctheta%20%3D%20tan%20%28arcsec%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%20%29%29%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%20%7D%7B4%20%7D-1%7D%5C%5Csec%5Ctheta%3D%20sec%20%28arcsec%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%20%29%29%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D" />Sustituimos en el resultado : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Climits%20%7B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2-4%7D%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D%202ln%28%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%20%7D%7B4%20%7D-1%20%7D%2B%20%5Cfrac%7Bx%20%7D%7B2%7D%29%2B%20x%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%20%7D%7B4%20%7D-1%7D" />.
Respuesta : <img src="https://tex.z-dn.net/?
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