Dado el conjunto S = {u1, u2} donde u1 = (5, 1) y u2 = ( - 3 , - 2 ) Demostrarque S genera a R²?
Dado el conjunto S = {u1, u2} donde u1 = (5, 1) y u2 = ( - 3 , - 2 ) Demostrar que S genera a R².
En resumen
Para demostrar que una conjunto genera un espacio vectorial hay que demostrar que todo vector perteneciente al espacio vectorial puede ser escrito como como combinación lineal de los vectores del conjunto. Sin embargo en el caso de <img src="https://tex.z-dn.net/?
Mejor respuesta
Para demostrar que una conjunto genera un espacio vectorial hay que
demostrar que todo vector perteneciente al espacio vectorial puede ser escrito
como como combinación lineal de los vectores del conjunto.
Sin embargo en el caso de <img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7Bn%7D%20" /> Si se tiene un conjunto de
vectores pertenecientes a <img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7Bn%7D%0A" />, dicho conjunto es de dimensión n (Número de elementos que tiene el
conjunto) y ademas estos vectores son linealmente independiente, entonces el
conjunto es una base de <img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7Bn%7D%0A" /> y por lo tanto genera <img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7Bn%7D%0A" />
Lo que quiere decir que como la dimensión del conjunto es 2, basta con
demostrar que son linealmente independientes para decir que genera <img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7B2%7D%20" />
Si dos vectores son linealmente
independiente (li) uno no se puede escribir como combinación lineal del
otro, que es lo mismo que decir que su combinación lineal es cero si y lo si
los escalares son cero.
Escribamos entonces como combinacion lineal y se
demostrara que sus escalares son cero y por lo tanto son li.
Λ(5, 1) + β( - 3, - 2) = (0, 0)
⇒ 5λ - 3β = 0
y λ - 2β = 0
Suma la primera ecuacion con - 5
veces la segunda
⇒ 5λ - 5λ - 3β + 10β = 0
⇒ 7β = 0 ⇒ β = 0 / 7 = 0 ⇒ β = 0
Sustituimos el valor de β en la segunda ecuación
λ - 2 * 0 = 0 ⇒ λ - 0 = 0⇒ λ = 0
Por lo tanto los vectores son li, pertenecen a <img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7B2%7D%20" /> y el conjunto formado por
ellos S es de dimensión 2 lo que significan que es una base de <img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7B2%7D%20" /> y en particular como toda
base genera el espacio entonces S genera a
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7B2%7D%20" />.
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