Que es espacio General?

Si el espacio vectorial es de dimensión infinita, la noción de valores propios puede generalizarse al concepto deespectro.

El espectro es el conjunto de escalares λ para el que, no está definido, esto es, tal queno tiene inversa acotada.

Siλes un valor propio deT, λestá en el espectro deT.

En general, el recíproco no es verdadero.

Hay operadores en los espacios deHilbertoBanachque no tienen vectores propios.

Por ejemplo, tómese un desplazamiento bilateral en el espacio de Hilbert ; ningún vector propio potencial puede ser cuadrado - sumable, así que no existe ninguno.

Sin embargo, cualquier operador lineal acotado en un espacio de BanachVtiene espectrono vacío.

El espectrodel operadorTV→Vse define comono es invertibleEntonces σ(T) es unconjuntocompacto de números complejos, y es no vacío.

CuandoTes unoperador compacto(y en particular cuandoTes un operador entre espacios finito - dimensionales como arriba), el espectro deTes igual que el conjunto de sus valores propios.

En espacios de dimensión infinita, el espectro de unoperador acotadoes siempre no vacío, lo que también se cumple para operadores adjuntos propios no acotados.

A través de sumedida espectral, el espectro de cualquier operador adjunto propio, acotado o no, puede descomponerse en sus partesabsolutamente continua, discreta, ysingular.

El crecimiento exponencial proporciona un ejemplo de un espectro continuo, como en el caso anterior de la cuerda vibrante.

Elátomo de hidrógenoes un ejemplo en el que aparecen ambos tipos de espectro.

Elestado ligadodel átomo de hidrógeno corresponde a la parte discreta del espectro, mientras que el proceso deionizaciónqueda descrito por la parte continua.