Las dimensiones de la mesa rectangular son : 2 metros por 1 metro, cuyo perímetro máximo será 6 metros.
Explicación paso a paso : a.
Plantee con todos los elementos que caracterizan el modelo de programación lineal, las condiciones del problema, teniendo en cuenta que la función objetivo es Max Z = 2X1 + 2X2 Llamaremos : X1 = dimensión mayor X2 = dimensión menor Función objetivo : Maximizar Z = 2X1 + 2X2 (Perímetro)
Condiciones del problema :
X1 ≤ 2
X2 ≤ 2
X1 + 2X2 ≤ 4
Condiciones de no negatividad :
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
b.
Resuélvalo por los métodos simplex y gráfico.
Método Simplex
1.
- Las condiciones del problema se escriben como igualdades agregando variables de holgura :
Función objetivo : Maximizar Z(x1, x2, h1, h2, h3) = 2X1 + 2X2 + 0h1 + 0h2 + 0h3
Condiciones del problema :
X1 + h1 = 2
X2 + h2 = 2
X1 + 2X2 + h3 = 4
2.
- Se construye una tabla con los coeficientes de las condiciones y la función objetivo (en negativo) : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Barray%7D%7Br%7Cl%7D%5Cunderline%20%7BX1%20~%20X2%20~%20h1%20~%20h2%20~%20h3%20%26%20B%7D%5C%5C1%20%5Cquad%200%20%5Cquad%201%20%5Cquad%200%20%5Cquad%200%20%26%202%20%5Cqquad%20h1%5C%5C0%20%5Cquad%201%20%5Cquad%200%20%5Cquad%201%20%5Cquad%200%20%26%202%20%5Cqquad%20h2%5C%5C1%5Cquad%202%5Cquad%200%5Cquad%200%5Cquad%201%264%20%5Cqquad%20h3%5C%5C%5Coverline%7B-2%5Cquad%20-2%5Cquad%200%5Cquad%200%5Cquad%200%260%7D%5C%5C%5Cend%7Barray%7D" />Se obtiene la primera solución : Z(0, 0, 2, 2, 4) = 0
3.
- Se transforma la tabla para obtener una nueva solución.
Para ello :
3.
1. - Se selecciona la columna pivote aquella con el número negativo de mayor valor absoluto en la última fila.
Primera columna.
3. 2.
- Se selecciona la fila pivote aquella con el menor cociente positivo entre la columna B y la columna pivote.
Los cocientes positivos serian : 2 / 1 = 2 y 4 / 1 = 4
Primera fila.
3. 3.
- El elemento donde se cruzan la fila y la columna pivote es el elemento pivote.
Este se transforma en uno (1) dividiendo la fila pivote entre el valor del elemento pivote.
3. 4.
- Se anula el resto de la columna pivote usando el uno como pivote.
Se multiplica fila 1 por ( - 1) y se suma a la fila 3.
Se multiplica fila 1 por (2) y se suma a la fila 4.
3. 5.
- Se intercambian las variables de la columna pivote y la fila pivote, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%20%7Barray%7D%7Br%7Cl%7D%5Cunderline%20%7BX1%20~%20X2%20~%20h1%20~%20h2%20~%20h3%20%26%20B%7D%5C%5C1%5Cquad%200%5Cquad%201%5Cquad%200%5Cquad%200%20%262%20%5Cqquad%20X1%20%5C%5C0%5Cquad%201%5Cquad%200%5Cquad%201%5Cquad%200%20%262%20%5Cqquad%20h2%20%5C%5C0%5Cquad%202-1%5Cquad%200%5Cquad%201%20%262%20%5Cqquad%20h3%20%5C%5C%5Coverline%20%7B0%5Cquad%20-2%5Cquad%202%5Cquad%200%5Cquad%200%264%7D%20%5C%5C%5Cend%20%7Barray%7D" />Se obtiene la segunda solución : Z(2, 0, 2, 0, 2) = 4
4.
- Se revisa la última fila de la tabla y, como hay valores negativos, se repite el paso 3.
4. 1.
- Segunda columna es columna pivote.
4. 2.
- Tercera fila es fila pivote, ya que los cocientes positivos serian : 2 / 1 = 2 y 2 / 2 = 1
4.
3. - El elemento pivote es el número dos (2) ; se divide la fila pivote por dos (2).
4. 4.
- Se anula el resto de la columna pivote.
Se multiplica fila 3 por ( - 1) y se suma a la fila 2.
Se multiplica fila 3 por (2) y se suma a la fila 4.
4. 5.
- Se intercambian las variables de la columna pivote y la fila pivote, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Barray%7D%7Br%7Cl%7D%5Cunderline%7BX1%20~%20X2%20~%20h1%20~%20h2%20~%20h3%20%26%20B%7D%5C%5C1%5Cquad%200%5Cquad%201%5Cquad%200%5Cquad%200%262%20%5Cqquad%20X1%5C%5C0%5Cquad%200%5Cquad%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cquad%201%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%261%20%5Cqquad%20h2%5C%5C0%5Cquad%201%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cquad%200%5Cquad%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%261%20%5Cqquad%20X2%5C%5C%5Coverline%7B0%5Cquad%200%5Cquad%201%5Cquad%200%5Cquad%201%266%7D%5C%5C%5Cend%7Barray%7D" />Se obtiene la tercera solución : Z(2, 1, 0, 1, 0) = 6
5.
- Se revisa la última fila de la tabla y, ya que no hay valores negativos, se selecciona la mejor solución.
La solución máxima de la función objetivo (perímetro) es Z = 6 cuando las dimensiones de la mesa rectangular son : 2 metros por 1 metro.
Método Gráfico
1.
- Las condiciones del problema son las mismas :
2.
- Se construye la gráfica anexa con las igualdades que representan las fronteras del polígono solución.
Se evalúan los vértices del polígono en la función objetivo y se selecciona como solución máxima la mayor de todas esas evaluaciones : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%20%7Barray%7D%20%7Bc%7Cl%7Cr%7D%5Cunderline%20%7B%28X1%2C%20X2%29%20%26%20Evaluaci%5Cacute%7Bo%7Dn%20%26%20Valor%20Z%7D%5C%5C%20%20%280%2C%200%29%20%262%280%29%2B2%280%29%20%26%200%5C%5C%20%280%2C%202%29%20%262%280%29%2B2%282%29%20%26%204%5C%5C%20%281%2C%202%29%262%281%29%2B2%282%29%266%5C%5C%20%282%2C%200%29%262%282%29%2B2%280%29%264%5C%5C%5Cend%20%7Barray%7D" />La solución máxima de la función objetivo (perímetro) es Z = 6 cuando las dimensiones de la mesa rectangular son : 2 metros por 1 metro.
C. ¿Cuál es el valor máximo del perímetro para las mesas a fabricar?
El valor máximo del perímetro de las mesas a fabricar es de 6 metros.
